点，r=+，则由三角形相似的知识可知兴与一跟P在α终边上的位置无关，只与角α终边的位置有关，一般地，称之为角α的正弦，记作sinα；称二为角α的余弦，记作cosα.因此sinα=y3,cosα=当角α的终边不在轴上时，同样可知与点P在α终边上的位置无关，此时称兴为角α的正切，记作tanα，即ytanα=7由上可知，对于每一个角α，都有唯一确定的正弦、余弦与之对应：当α#2（kEZ）时，有唯一的正切与之对应，角α的正弦、余弦与正切，都称为α的三角函数例已知角α的终边经过点P(2，一3)，求sinα，cosα和tanα解设×=2，y=-3，则r=V+-V2十（-3）-/13.于是3/13sinα_313,rV1322/13acosα13,/131tanα=3例求下列各角的正弦、余弦和正切.3元(3)(1)0;(2)元；2.解（1）角0的终边在轴正半轴上，在轴的正半轴上取点（1，0），所以r=V1?+0-1，因此010sin 0-O-0,cos01,tan0111（2）角元的终边在轴负半轴上，在轴的负半轴上取点（一1，0），所以r=V（-1)十0°=1，因此00sin元0=0cOS元tan元113元（3）角的终边在y轴负半轴上，在y轴的负半轴上取点（0，一1)，所以r=V0十（-1)=1，因此157.2任意角的三角函数
3元3元3元45不存在sin 2cOstan225元例3的正弦、余弦和正切。求5元解如图7-2-3所示，在普的终边上取点P，使得OP=2.作PMLOx，则在Rt△OMP中，0M5元元/POM=元66图7-2-3因此MP=1，OM-V3，从而可知P的坐标为（-/3，1)，因此5元15元5元6sin2cos7tan62.正弦、余弦与正切在各象限的符号尝试与发现从定义与实例都可以看出，任意角的正弦、余弦与正切，都既有可能是正数，也有可能是负数，还可能为0.它们的符号与什么有关？试总结出任意角的正弦、余弦与正切符号的规律如果P（a，y）是α终边上异于原点的任意一点，r=十y，则sinα=y，由r>0可知，sinα的正负与α终边上点的纵坐标的符号相同，r所以，当且仅当α的终边在第一、二象限，或y轴正半轴上时，sinα>0：当且仅当α的终边在第三、四象限，或y轴负半轴上时，sinα<o.用类似方法可以得到：当且仅当α的终边在第一、四象限，或轴正半轴上时，cosαO；当且仅当α的终边在第二、三象限，或轴负半轴上时，cosα<o.当且仅当α的终边在第一三象限时，tanα>0；当且仅当α的终边在第二、四象限时，tanα<0.以上结果可用图7-2-4直观表示00sinacosatan α图7-2-416第七章三角函数
例4确定下列各值的符号(1) cos 260°;(2)10元(3)tan(—67220');(4) tan 3解（1）因为260°是第三象限角，所以cOs260<0普是第四象限角，所以sin(元（2）因为一O0D（3）由—672°20°-47°40十（2）×360%可知—672°20是第—象限角，所以tan（—67220°）>0.10元）由号一+2。可如号10元"是第三象限角，所以tan>03例5设sin<0且tan>0，确定?是第几象限角解因为sin<o，所以Q的终边在第三、四象限，或y轴负半轴上，又因为tan>0，所以6的终边在第一三象限因此满足sin<0且tan>0的?是第三象限角.练习A①分别根据下列条件，求各角的正弦、余弦和正切(I)已知角α的终边经过点P(，)；(2) 知角β的终边胚过点(一学,号)。（3）已知角的终边经过点M（-3，-1).有号的正弦和余弦。?求角兰的③填写下表.090°角α180°270°360°α的孤度数sinαcosatana0确定下列各值的符号。16元(1) sin 156°;(2)cOs(3)cos(-80°);53177.2任意角的三角函数
17元4元(6)tan 556°12(5) sin((4)tan(38?填空.象限角；(1）如果sinα>0，且cosα<o，则α是第象限角；(2）如果tanα>0，且cosα<0，则α是第象限角；（3）如果sinα<0，且tanα<0，则α是第（4）如果cosα>0，且sinα<0，则α是第象限角.练习BV31求α的终边与以原点为圆心、2为半径的圆的1R已知sinαcOsα=22交点坐标②设α是三角形的一个内角，在sinα，cosα，tanα中，哪些有可能是负值？③根据下列条件，确定0是第几象限角（1）cos0与tan异号；(2）cos与tan0同号；（3）sinの与cos0异号；（4）sin与tan0同号.0已知Px，一1）在角α的终边上，而且cosα=，求工和sinα的值。5已知角α的终边在直线y2α上，求sinα，cosα，tanα的值，V3V33+yaakr+3国团EO6江-16222327.2.2单位圆与三角函数线R你饭1.正弦线与余弦线尝试与发现我们已经知道，如果P（a，y）是α终边上异于原点的任意一点，rVa"+y，则ysinα=，cOsα=rr如果选取的P点坐标满足十y1，则上述正弦与余弦的表达式有什么变化？由此你能给出任意角正弦和余弦的一个直观表示吗？18第七章三角函数
不难看出，如果+=1，则sinα=y,cosα=因为+=1可以化为(α-0)+(y-0)2=1,因此P（，）到原点（O，O)的距离为1.一般地，在平面直角坐标系中，坐标满足十-1的点组成的集合称为单位圆，因此，如果角α的终边与单位圆的交点为P，则P的坐标为(cosα,sina).这就是说，角α的余弦和正弦分别等于角α终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标如图7-2-5所示，如果过角α终边与单位圆yt可的终边的交点P作轴的垂线，垂足为M，则OM可以直观地表示cosα：OM的方向与α轴的正方向相同时，表示cosα是正数，且cosα=OM」；OM的方向与轴的正方向相反时，表示cosα是负数，且cosα=一OM，习惯上，称OMB的终边为角α的余弦线。类似地，图7-2-5中的MP可图7-2-5以直观地表示sinα，因此称MP为角α的正弦线.利用角的正弦线和余弦线，可以直观地看出角的正弦和余弦的信息。例如图7-2-5中，角β的余弦线是ON，正弦线是NS，由此可看出cosβ<O，sinβ<o，而且还可以看出I cos βI> / cos α /.I sinβI .类似地，可知|sinα|2.正切线尝试与发现我们已经知道，如果α的终边不在y轴上，且P（，y）是α终边上异于原点的任意一点，则tanα=5你能仿照前面的方法给出正切的一个直观表示吗？可以看出，如果取坐标满足r=1的点P，则tanα=y.因为=1在平面直角坐标系中表示的是垂直于2轴且过A（1，0）的直线，所以如果角α的终边与直线l的交点为P（1，y），则tanα=B如图7-2-6所示，设角α的终边与直线=1交于点T，则A可以直197.2任意角的三角函数