观地表示tanα，因此AT称为角α的正切线α的不难看出，当角的终边在第二、三象限或工β的TV终边终边轴的负半轴上时，终边与直线=1没有交点，但终边的反向延长线与工一1有交点，面且交点S的纵坐标也正好是角的正切值。因此图7-2-6中角β的正切线为AS，而且从图中可以看出I tan α I .tan<o,/tan/图7-2-6这就是说，角α的正切等于角α终边或其反向延长线与直线=1的交点的纵坐标正弦线、余弦线和正切线都称为三角函数线5元元作出普和的正弦线、余弦线和正切线，并利用三角函数线求出（例1它们的正弦、余弦和正切，解如图7-2-7所示，在平面直角坐标系中作出单位圆以及直线=1，单位圆与轴交于点A(1，0).作鲁的终边与单位国的交点 P， 过 P 作x轴的垂线，垂足为M；延长线段PO，交直5元则的正弦线为MP，余弦线线2=1于T，贝图7-2-7为OM，正切线为AT类似可得到～的正弦线为NR，余弦线为ON，正切线为AS.在图7-2-7中，根据直角三角形的知识可知，V32AT=V31V2-MP,OM-ON=NR2，,AS=1,2'3所以5元15元5元5sin6tanCOS662'6V2元T元sin -=1.=COStan24A4例2将图7-2-8（1）所示的摩天轮抽象成图7-2-8（2）所示的平面图形，然后以摩天轮转轮中心为原点，以水平线为轴，建立平面直角坐标系设O到地面的高OT为1m，点P为转轮边缘上任意一点，转轮半径OP为rm，记以OP为终边的角为αrad，点P离地面的高度为hm，试用l,r与α表示h20第七章三角函数
(1)(2)图7-2-8解过点P作轴的垂线，垂足为M，则：当α的终边在第一、二象限或y轴正半轴上时，MP=rsinα，此时h=OT+MP=1+rsina;当α的终边在第三、四象限或y轴负半轴上时，因为sinα<o，所以MP=一rsinα，此时h=OT-MP=l+rsina;当α的终边在轴上时，sinα=0，此时h=OT=l十rsinα所以，不管α的终边在何处，都有h-7探索与研究元如果一个角大小为rad且0<z那么a，sina，tana都是实数.请你2给出工的一个具体值，比较这3个实数的大小然后想一想，你得到的大小关系是否对区间（0，）上的任意都成立练习A①分别作出下列各角的正弦线、余弦线和正切线O.5元(2)4:利用三角函数线指出sin元，cos元和tan元的值已知0<<<3，利用正弦线比较sinα和sinβ的大小，A0已知0<α<利用正弦线和余弦线比较sinα和cosα的大小217.2任意角的三角函数
口以5cm为单位长度作单位圆，分别作出10%，20%50°，220%320°角的正弦线余弦线和正切线，量出它们的长度，写出这些角的正弦、余弦和正切的近似值，再使用科学计算器求这些角的正弦、余弦和正切，并进行比较6练习B分别作出下列各角的正弦线、余弦线和正切线，并利用它们求出各角的正弦、余弦和正切2元13元(1)(2)36利用正弦线指出sinα的最大值，并指出α为何值时sinα取得最大值③设α是第一象限角，作α的正弦线、余弦线和正切线，由图证明下列各等式sinα(1)sinα+cosα=l;(2)tanα=cosa如果α是第二、三、四象限角，以上等式仍然成立吗？V3V3口>Ey人56iI+rsinα237.2.3同角三角函数的基本关系式尝试与发现同一个角的正弦、余弦、正切之间有什么关系？我们已经知道，如果P（，y）是α终边上不同于坐标原点的点，记r=Na+y，则yaysin α-cosα=tanα=221由此可看出sin?α+cosα=l,sinαtanαcOS-α22第七章三角函数
这两个关系式也可以从三角函数线得到，一般被称为同角三角函数的基本关系式4例1已知 sinα=且α是第二象限角，求角α的余弦和正切。516由sinα十cosα=1，得十cos?α=1，所以cosα=解：因为25α是第二象限角，cosα<o，所以93cosα=V2554sinαtan α=3.cOsα已知tanα=一5，且α是第二象限角，求角α的正弦和余弦.例2分析我们把sinα和cosα看成两个未知数，这样只要列出关于sinα和cosα的两个独立的关系式，通过解关于这两个未知数的联立方程组，就可以求出sinα和cosα.解由题意和同角三角函数的基本关系式，有?sinα+cosα=1,sinα=-V5.cosα1由得sinα=一/5cosα，代人①整理得6cosα=1，所以cosα=6因为α是第二象限角，所以cosα一2，代入②式得sin α=/5 cos α=(-V5)×(-)-V30616/5已知sinαcosα号，求tanα的值例3解由题意和同角三角函数的基本关系式，有RV5sinα-cosα52sinα+cosα-1消去sinα，得5cosα/5cosα-2=0，解得2/5V5cosa=或cosα=552/5sinα1当cosα时，可得sinα=3，此时tanα215cosαV5当cosα=时，可得sinα=4，此时tanα=55237.2任意角的三角函数
sin0-cos0化简例4tan-1.(sin -cos )cos 0sin -cos 0原式二年解cos 0.sinsin-coscOs0例5求证：(1)sin'α-costa=2sinα-l;(2)tan'α-sin?α=tanαsin"α;1+sinacOsα(3)1-sinαcosα尝试与发现怎样证明一个恒等式？你能给出上面这些恒等式的证明过程吗？证明（1）原式左边=（sinα十cosα）（sinα-cosα）=sinα-cosα=sin'α-(1-sin’α)=2sin2α-1=右边，因此sinα-cosα-2sinα-1.（2）原式右边=tanα（1一cosα）sin'α=tan"α-cosαcos'ac=tanα一sinα一左边，因此tanα-sin’αtan’αsinα.（3）（方法一）因为cos"α-cos"α1+sinαcos"α-(1-sin"α)cOsα=0，(R1-sinαcosα(1-sinα)cosα(l-sinα)cosa所以1+sin αcosα1-sinαcos.α（方法二）由题知cosα半0，因而sinα≠一1，即1十sinα丰0.从而cosα(l+sinα)cos a(1+sina)原式左边(1-sinα)(1+sinα)1-sin?αcosα(1+sinα)1+sinα一右边，cos'αcosα因此1+sin αcosα1-sinαcosα24第七章三角函数