类似地，如图7-1-4（2）所示，射线OA逆时针方向旋转到OB所形成的角为90°，OB顺时针方向旋转到OC所形成的角为一30，则OA逆时针方向旋转到OC所形成的角为90°30°-60°2.象限角为了方便起见，通常将角放在平面直角坐标系中来讨论，并约定：角的顶点与坐标原点重合，角的始边落在轴的正半轴上，这时，角的终边在第几象限，就把这个角称为第几象限角，如果终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限例如，图7-1-5（1）中的45°，一315，405°角都是第一象限角：图7-1-5（2）中的126°角是第口象限角，210角是第三象限角，一60°角是第日象限角，一90°角不是象限角，其终边在轴的负半轴上，(1)(2)图7-1-5尝试与发现图7-1-5（1）中三个角的终边相同。那么，终边相同的角有没有一个共同的表示方法呢？一般地，角α+k·360°（kEz）与角α的终边相同，这只需把k·360°看成逆时针或者顺时针方向旋转若干周即可，任意两个终边相同的角，它们的差一定是360°的整数倍，因此，所有与α终边相同的角组成一个集合，这个集合可记为S=BLβ=a+k·360°kEZ.即集合S的每一个元素的终边都与α的终边相同，k=0时对应元素为357.1任意角的概念与弧度制
例1如图7-1-6所示，已知角α的终边为射线OA，分别作出角α十90°，α90°，α+180°的终边解由角的定义可知，把角α的终边OA逆时针方向旋转90°可得角α+90°的终边OB，把角α的终边OA顺时针方向旋转90°可得角α一90的终边OC，把角α图7-1-6的终边OA逆时针方向旋转口可得角α十180°的终边OD，如图7-1-6所示例2分别写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中满足不等式—360β<720的元素β写出来(2)—21°(1) 60°:解（1)S=(ββ=60°+k360%kEz).11所以解不等式-360<60°+k·360<720°，得-1<k<26，6k可取-1，0或1.因此S中满足-360<β<720°的元素是60°+(-1)×360°=-300°60°+0×360°=60%60°+1X360°=420(2)S=(β/β=-21+k·360%,kEZ).解不等式-360-21°+k·360720°，得12121-1+300<k<2+360所以k可取5因此S中满足一360<β<720°的元素是-21°+0X360°=-21-21°+1×360°=339%—21°+2X360-699°例3写出终边在第一象限内的角的集合解因为大于0°且小于90°的角的终边一定在第一象限，而且如果一个角的终边在第一象限，那么这个角的终边一定与（0°，90°）内某个角的终边相同，因此终边在第一象限内的角的集合为(a|k.360<a<90°+k.360kEZ).例4写出终边在轴上的角的集合解在[0%，360°内，终边在？轴上的角有两个，即0°和180%，与这两个角终边相同的角组成的集合依次为Si=(αlα=k.360kEz),S2=(αlα-180°+k.360°,kEz).6第七章三角函数
为简便起见，我们把集合S，和S的表示方法改为S,=(α|α=2k·180°kEZ),Sz=(α/α=(2k+D)·180°kEz)因为（m|m=2k，kEz)U（m|m=2k+1，kEZ)=Z，所以S-SiUS,=(α|α=m·180°,mEZ),即集合S是终边在轴上的角的集合，想一想例4的结果也可从直观上来理解：零角的终边在轴上，零如果以是第二角的终边旋转180%，-180°，2×180%，2×（-180），，终边仍象限角，则是第会落在工轴上，于是，可以直接写出终边在轴上的角的集合为儿象限角？(αlα=k.180°kEz).练习A①求下列各式的值，并作图说明运算的几何意义(1)90°+（-60);(2)60°-180%(3)-60°+270%②在平面直角坐标系中作下列各角的终边(1)855°;(2)-750°③在[0°，360）内，找出与下列各角终边相同的角，并说明它们所在的象限，(1)-45°(2)760°;(3)-480°分别写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中满足不等式一360<α<720°的元素α写出来(1)100°;（3）—380°20(2)-120°判断以下说法是否正确（均指在平面直角坐标系中，始边在轴正半轴上）（1）第一象限角一定是锐角；（2）终边相同的角一定相等；（3）小于90°的角一定是锐角；（4）钝角的终边在第二象限）6练习B①分别写出终边在y轴正半轴、y轴负半轴和y轴上的角的集合②分别写出终边在直线y=工上和终边在直线y=一工上的角的集合③在平面直角坐标系中，集合S一βlβ=k·90，kEZ中的元素所表示的角的终边在哪些位置？分别写出终边在第二、第三、第四象限的角的集合③今天是星期一，那么从明天算起，第7k（kEN+）天是星期几？第100天是星期几？3α180°四二日四50,1或277.1任意角的概念与弧度制
7.1.2弧度制及其与角度制的换算在日常生活以及各学科中，一个量可用不同的标准来度量，从而也就有了不同的单位以及单位之间的换算，例如，长度既可以用米，厘米来度量，也可以用尺、寸来度量；面积可以用平方米来度量，也可以用亩来度量，类似地，角除了使用角度来度量外，还可以使用本小节我们要学习的弧度来度量1.弧度制使用角度来度量角时，是把圆周等分成360份，其中每一份所对应的圆心角为1度，这种用度作单位来度量角的制度称为角度制角度制还规定1度等于60分，1分等于60秒，即1°-60°,1'-1使用角度来度量角，其关键是“等分”考虑到面积、体积等都可以通过线的长度来刻画，那么，能否用“测量长度”来代替“等分”，从而引进另外一种度量角的制度呢？（）情境与问题如图7-1-7是一种折叠扇，折叠扇打开、合拢的过程可以抽象成扇形圆心角的变大、变小那么在这个过程中，扇形的什么量在发生变化？什么量没发生变化？由此你能想到度量角的其他办法吗？图7-1-7将折叠扇抽象为如图7-1-8（1)所示的图形，可以看出，弧AB与弧A'B都与角α对应，但α≠0时，它们的弧长AB与AB始终不相等，其原因在于OA+OA0(1)(2)图7-1-8一般地，如果角α是由射线OP绕它的端点旋转形成的，如图7-1-8（2）8第七章三角函数
所示，则在旋转的过程中，射线上的任意一点（端点除外）必然形成一条圆弧，不同的点所形成的圆弧长度不同，但这些圆弧都对应同一个角α，可以猜想，这些弧的长与弧所在圆的半径的比值是一个常数，即ABABOA-OA=…=定值n事实上，设α=n，弧AB的长为l，半径OA=r，则1=.2元r，360因此12元3607这个等式右端不包含半径，这表示弧长比半径的值不依赖于半径，而只与α的大小有关，我们称弧长与半径比值的这个常数为圆心角的弧度数，因此，长度等于半径长的圆弧所对的圆心角为1弧度的角，记作1rad如图7-1-9所示，因为AB的长等于半径r，所以AB所对的圆心角ZAOB就是1弧度的角如前所述，这样规定出来的1弧度的角大小是完全确定的，这种以弧度为单位来度量角的制度称为弧度制.图7-1-9由弧度制的定义可知，在半径为的圆中，若弧长为l的弧所对的圆心角为αrad，则想一想α=弧度制与角度制的区别是什么？请查阅责料，思考由此也可得到1-2，即弧长等于其所对应的圆心角的弧一下引入度制的度数与半径的积.意义是什么，今后我们在用弧度制表示角时，“弧度”二字或rad可以略去R不写，而只写这个角对应的弧度数，例如，α=2表示α是2rad元元的角；sin表示 rad 的角的正弦.2.弧度制与角度制的换算尝试与发现（1）按照定义，一个周角对应的弧度数应是多少？（2）一般地，弧度制与角度制之间怎样进行换算？97.1任意角的概念与弧度制