69第八章向量的数量积与三角恒等变换718.1向量的数量积718.1.1向量数量积的概念768.1.2向量数量积的运算律818.1.3向量数量积的坐标运算878.2三角恒等变换878.2.1两角和与差的余弦908.2.2两角和与差的正弦、正切968.2.3倍角公式998.2.4三角恒等变换的应用107本章小结本书拓展阅读目录更多三角函数及关系式/25向量的数量积与三角形的面积/84正弦型函数与信号处理/103饭ii目录
因为科学是不断发展的，任何人不单纯是把前人的知识记下来，而更重要的是继承和发扬前人所掌握的方法，以便在遇到新的问题时能灵活运用，因此，学习数学，记忆公式和背诵成法乃一种很坏的学习方法I关肇直第七章三角函数
本章导语我们已经知道，利用前面学过的一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数等，可以描述多种类型的运动或变化规律，不过，对于周期性运动或变化来说，虽然我们很熟悉，而且也知道怎样进行简单描述，但是，系统刻画周期性运动或变化的知识，我们还没有完整地学习过例如，被称为“天津之眼”的天津永乐桥摩天轮，是一座跨河建造、桥轮合一的摩天轮，直径为110m，如图1所示如果“天津之眼”每30min转动一周，而且假设是匀速转动，摩天轮的半径AB在tmin内转过的角为y度，则360t=12t.y=30如果设摩天轮圆周上的点B离地面的高度图1为hm，那么h与t之间的函数关系怎样表示呢？这需要借助本章我们即将学习的三角函数知识才能完成。需要说明的是，我们根据摩天轮提出来的问题并不是“没事找事”，类似的问题在工程中有着重要的应用，例如，人们经常要将直线运动与圆周运动进行相互转化图2的发动机示意图中，活塞的直线运动就要转化为圆周运动才能方便利用F0图3图2类似的情况可以用图3来示意，其中AB是直杆，端点B固定在圆O的圆周上，当端点A沿线段EF运动时，OB绕点O旋转此时BC的变化规律与端点A的运动规律有关.本章我们首先对角的概念进行推广，然后介绍任意角的正弦、余弦和正切，最后学习三角函数的性质，并初步了解怎样用三角函数描述周期性运动或变化
7.11任意角的概念与弧度制7.1.1角的推广1.角的概念的推广在小学和初中，我们把有公共端点的两条射线组成的图形称为角，这个公共端点称为角的顶点，这两条射线称为角的边，同时我们还知道，120O角可以看成是一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形，例如，图7-1-1图7-1-1所示的大小为120°的角，用以前的观点来看，既可以认为是OA旋转到OB所形成的，也可以认为是OB旋转到OA所形成的.我们以前所学过的角，大小一般不会超过一个周角（360）的大小情境与问题如图7-1-2所示，当摩天轮在持续不断地转动时，（1）摩天轮所转过的角度大小是否会超过360°？（2）如果甲、乙两人分别站在摩天轮的两侧观察，那么他们所看到的摩天轮旋转方向相同吗？如果不同，你能用合适的数学符号表示这种不同吗？从这个实例出发，你能将以前所学的角进行推广吗？图7-1-2显然，上述情境中，只要时间足够长，摩天轮所转过的角的大小会超过360°而且，甲、乙两人所观察到的摩天轮旋转方向相反：如果其中一人观察到的是逆时针旋转，则另一人观察到的是顺时针旋转，由于相反意义的量可以用正负数表示，因此不难想到这种不同可以用正负号来区分37.1任意角的概念与弧度制
由此就可以将角的概念进行推广：一条射线绕其端点旋转到另一条射线所形成的图形称为角，这两条射线分别称为角的始边和终边，射线的旋转有两个相反的方向：顺时针方向和逆时针方向，习惯上规定，按照时针方向旋转而成的角称为正角：按照顺时针方向旋转而成的角称为负角：当射线没有旋转时，我们也把它看成一个角，称为零角，这样定义的角，由于是旋转生成的，所以也常称为转角，值得注意的是，上述角的定义中，当射线绕其端点按逆时针方向或按顺时针方向旋转时，旋转的绝对量可以是任意的．因此，角的概念经过以上的推广以后，就包括正角、负角、零角，也就是说，角的大小是任意的，由此，我们把角的概念推广到了任意角作图时，常用带箭头的弧来表示旋转的方向和旋转的绝对量，如图7-1-3（1)（2）表示的两个转角中，射线OA绕端点O旋转到OB时，旋转的绝对量都超过了一个周角的大小，按照图中箭头所指的旋转方向和弧线所表示的周数，可知α=450%β=-630°0(1)(2)图7-1-3尝试与发现角的概念推广之后，利用转角给出60°十90°与90°—30°的几何意义利用转角，可以给出角的加减运算的一个几何意义，例如，对于60°十90°来说，如图7-1-4(1）所示，射线OA逆时针方向旋转①到OB所形成的角为60°OB逆时针方向旋转到OC所形成的角为90°则OA逆时针方向旋转到OC所形成的角为60°+90°-150°902609O(2)(1)图7-1-4①均指绕端点O旋转，下同4第七章三角函数