第十七章群 群的定义与性质 子群 ■循环群 变换群和置换群 群的分解 ■正规子群和商群 ■群的同态与同构 ■群的直积
1 第十七章 群 群的定义与性质 子群 循环群 变换群和置换群 群的分解 正规子群和商群 群的同态与同构 群的直积
171群的定义与性质 群的定义 定义与实例 等价定义 相关术语 群的性质 幂运算规则 群方程有唯一解 消去律 运算表的置换性质 元素的阶的性质 习题分析
2 17.1 群的定义与性质 群的定义 定义与实例 等价定义 相关术语 群的性质 幂运算规则 群方程有唯一解 消去律 运算表的置换性质 元素的阶的性质 习题分析
半群与群 广群 二元运算 封闭性 结合律 交换律 半群 交换半群 单位元 独异点一交律交换独异点 每个元 实例 Kein四元群 可逆 生成元 群 交换律 Abel群 循环群 有限个元素 有限群_实例 n元置换群
3 半群与群 半群 群 独异点 Abel群 循环群 n元置换群 广群 二元运算 封闭性 结合律 单位元 每个元 可逆 交换半群 交换律 交换律 交换独异点 交换律 生成元 有限个元素 有限群 实例 Klein四元群 实例
群的定义 可以将群看成代数系统<G,,,e> 定理1(等价定义)<G,>,可结合,若存在右单位元 e,且每个元素a相对于e存在右逆元d,则G是群 证明证e为左单位元∈G e=e(e为右单位元) →(a)=(an)→(ea)d=ar →C=a(右乘的右逆元) 证d为a的左逆元,即a=(a)=d” a=ea a)(- a(a'a) -e=(
4 群的定义 可以将群看成代数系统 <G, ∘,-1, e> 定理1 (等价定义) <G,∘>, ∘可结合，若存在右单位元 e，且每个元素 a 相对于e 存在右逆元a’，则G是群 证明 证e为左单位元. ∀a∈G, ee = e (e为右单位元) ⇒ e(aa’) = (aa’) ⇒ (ea)a’ = aa’ ⇒ ea = a (右乘a’的右逆元) 证 a’为 a 的左逆元，即 a = (a’)’ = a’’ a’’ = ea’’ = (aa’)a’’ = a(a’a’’) = ae = a
群的术语 平凡群只含单位元的群{e 交换群Abel群 有限群与无限群 群G的阶G的基数,通常有限群记为 元素a的n次幂 n=0 a"saa n>0 (a2 m=-n,n<0 元素a的阶a使得d=e成立的最小正整数k 说明:有限群的元素都是有限阶,为群的阶的因子; 反之,元素都是有限阶的群不一定是有限群
5 平凡群 只含单位元的群 {e} 交换群 Abel 群 有限群与无限群 群 G 的阶 G 的基数，通常有限群记为|G| 元素 a 的 n 次幂 ⎪⎩ ⎪⎨⎧ = − < > = = − − ( ) , 0 0 0 1 1 a m n n a a n e n a m n n 元素 a 的阶 |a|：使得 ak=e 成立的最小正整数 k 说明：有限群的元素都是有限阶，为群的阶的因子； 反之，元素都是有限阶的群不一定是有限群. 群的术语