群的性质1 定理2幂运算规则 (ab)=ba Salt im nm 若G为Abel群,则(ab)y=bn 说明: 等式1和2证明用到逆元定义和唯一性 等式3和4的证明使用归纳法并加以讨论 等式2可以推广到有限个元素之积
6 定理 2 幂运算规则 (a-1)-1=a (ab)-1=b-1a-1 a n a m =a n+m (an)m=anm 若 G 为 Abel 群，则(ab)n=anbn 说明： 等式 1 和 2 证明用到逆元定义和唯一性 等式 3 和 4 的证明使用归纳法并加以讨论 等式 2 可以推广到有限个元素之积. 群的性质 1
群的性质2 定理3方程a=b和y=b在群G中有解且有唯一解 证a1b是ac=b的解 假设c为解,则 c=ec=(ara)c=a()=a'b 定理4(逆命题)设G是半群,如果对任意a,b∈G,方程 a=b和y=b在G中有解,则G为群 证找右单位元和任意元素的右逆元 任取beG,方程bx=b的解记为e ⅤeG,yb=a的解记为c,即cb=a ae=(cbe=c(be=cb e为右单位元 Ⅴa∈G,方程axc=e有解,得到a的右逆元
7 群的性质 2 定理3 方程 ax=b 和 ya=b 在群 G 中有解且有唯一解. 证 a-1b 是 ax=b 的解. 假设 c 为解，则 c = ec = (a-1a)c =a-1(ac) = a-1b 定理4 (逆命题) 设G是半群，如果对任意 a,b∈G，方程 ax=b 和 ya=b 在 G 中有解，则 G 为群. 证 找右单位元和任意元素的右逆元. 任取 b∈G,方程 bx=b 的解记为 e. ∀a∈G, yb=a 的解记为 c, 即cb = a. ae = (cb)e = c(be) = cb =a e为右单位元. ∀a∈G, 方程 ax=e 有解，得到 a 的右逆元