23生成函数及其性质 生成函数的定义 牛顿二项式定理 生成函数的性质 ■生成函数与序列的对应关系
1 22.3 生成函数及其性质 生成函数的定义 牛顿二项式定理 生成函数的性质 生成函数与序列的对应关系
生成函数的定义 设序列{an},构造形式幂级数 G(x)=a0+a1r+ axx+.+arr"+. 称G(x)为{an的生成函数 实例: {C(mm的生成函数为 G(x)=1+C(m,1)x+Cm,2x2+,,=(1+x) 给定正整数k,{}的生成函数为 Gx)=1+kx+kx2+kx3+,,= 1-k
2 设序列{an}，构造形式幂级数 G(x) = a0 + a1x + a2x2 + … + anxn + … 称 G(x)为{an}的生成函数. 实例： {C(m,n)}的生成函数为 G(x)= 1 + C(m,1)x + C(m,2)x2 + … = (1+x)m 给定正整数 k, {kn}的生成函数为 G(x) = 1+ kx + k2x2 + k3x3 + … = 1 − kx 1 生成函数的定义
牛顿二项式定理 牛顿二项式系数: n<0 n rr (r-n+ n>0 其中r为实数,n为整数 牛顿二项式定理 设为实数,则对一切xy,<1有 +=∑y,其中 a)_a(a-1).a-n+1) nk
3 牛顿二项式系数： ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨⎧ > − − + = < =⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ 0 ! ( 1)...( 1) 1 0 0 0 n n r r r n n n n r 其中 r 为实数，n 为整数 牛顿二项式定理 设α为实数，则对一切 x,y，|x/y|<1 有 ! ( 1)...( 1) ( ) , 0 n n n x y n x y n n n − − + =⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ + = ∑∞= α α α − α α α α 其中 牛顿二项式定理
牛顿二项式定理(续) (x+y) ∑ n. a-n 其中 a)_a(-1)…、a-n+1) 当a=m时,变成二项式定理 +) ∑ 1+m=∑
4 当 α = m 时，变成二项式定理 ( ) , 0 ∑ ∞ = − ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ + = n m n m n x y nm x y (1 ) , 0 ∑ ∞ = ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ + = n m nz nm z ! ( 1)...( 1) ( ) , 0 n n n x y n x y n n n − − + =⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ + = ∑∞= − α α α α α α α 其中 牛顿二项式定理（续）
二项式定理(续) 当a=m时, a)_(-m)_(-m)-m-1)(-m-n+1) n (-1)m(m+1)…(m+n-1) m+n-1 n! m+n 1+z)-"= ∑(-1 12<1 (1+ 0(m+n ∑ z1 1=1+x+x2+ ∑ (n+1)x
5 | | 1 1 (1 ) 1 (1 ) | | 1 1 ( 1) (1 ) 1 (1 ) 0 0 < ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ + − = − − = < ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ + − = − + + = ∑ ∑ ∞ = − ∞ = − z z n m n z z z z n m n z z n n m m n n n m m ∑ ∞ = = + − = = + + + − = 0 2 2 ( 1) (1 ) 1 2, 1 ... 1 1 1, n n n x x m x x x m 当α = -m 时， ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ + − = − − + + − = − − − − − + =⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ − =⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛α n m n n m m m n n m m m n n m n n n 1 ( 1) ! ( 1) ( 1)...( 1) ! ( )( 1）...( 1) 二项式定理（续）