第八章向量代数与空间解析几何 17 sin =cos(n)s.n |2·1+4·(-1)+(-2)·(-1)| snT22+42+(-2)22+(-1)2+(-1) =0 即9=0. 10.试确定下列各组中的直线和平面间的关系： )号片号和4-2-2=3 (2)=号和3-2y+7:=8: (8)号：和+y*=3 解设直线的方向向量为3，平面的法向量为，直线与平面的夹角为p,且 sine lem( (1)s=(-2,-7,3),n=(4,-2,-2), (-2)·4+(-7)·(-2)+3·(-2)1 -22+-72+324(-2)2+-2元0， sin = 即9=0.故直线平行于平面或在平面上，现将直线上的点A(-3,-4,0)代人平面方 程，方程不成立.故点A不在平面上，因此直线不在平面上，直线与平面平行. (2)s=(3,-2,7),n=(3,-2,7),由于8=n或 13·3+(-2)·(-2)+7·7 sin= 34(-2)+7.3,-2+71 知中=Σ，故直线与平面垂直 (3)s=(3,1,-4),n=(1,1,1),由于s·n=0或 |3·1+1·1+(-4)·11 0+-4.,+0 知p=0,将直线上的点A(2,-2,3)代入平面方程，方程成立，即点A在平面上.故直 线在平面上. 211.求过点(1,2,1)面与两直线 「x+2y-:+1=0. 和 2x-y+z=0, 1x-y+z-1=0 1x-y+8-0 平行的平面的方程. 解两直线的方向向量为 i j k |i方k =12-1=(1,-2.-3).5=2-11=(0,-1,-1) 1-11 1-11
18 一、《高等数学》（第七版）下册习题全解 i j k 取 n=s1×s2=1-2-3=(-1,1,-1), 0-1-1 则过点(1,2,1)，以为法向量的平面方程为 -1·(x-1)+1·(y-2)-1·(:-1)=0, 即 x-y+2=0. 12.求点(-1,2,0)在平面x+2y-:+1=0上的投影. 解作过已知点且与已知平面垂直的直线。该直线与平面的交点即为所求.根 据题意，过点(-1,2,0)与平面x+2y-:+1=0垂直的直线为 将它化为参数方程x=-1+,y=2+21,2=-1,代入平面方程得 -1+1+2(2+21)-(-1)+1=0. 整理得1=-子从而所求点(-1,20)在平面+2-:+1=0上的投 为州含号引 @13.求点P(3,-1,2)到直线+y-+1=0, 2x-y+:-4:0的距离。 1i方k 解直线的方向向量s=11-1=(0.-3,-3). 2-11 在直线上取点(1，-2,0)，这样，直线的方程可表示成参数方程形式 x=1,y=-2-31,:=-31. (1) 又，过点P(3,-1,2),以s=(0,-3,-3)为法向量的平面方程为 -3(y+1)-3(:-2)=0. 即 y+z-1=0. (2) 将式(1)代入式(2)得1=一子，于是直线与平面的交点为小.-}，)故所求距 离为 -(-1++- 四14.设M。是直线L外一点，M是直线1上任意一点，且直线的方向向量为s.试证： 点M。到直线L的距离
第八章向量代数与空间解析几何 19 4=1时×s s 证如图8-9，点M。到直线L的距离为d.由向量积的几何意义知MoM×s|表 示以M,s为邻边的平行四边形的面积.而 M,d×5表示以s为边长的该平 8 行四边形的高，即为点M。到直线L的距离.于是 d=xx s 图8-9 15求直线290在半面4红y+:1上的投影直线的方程。 解作过已知直线的平面束，在该平面束中找出与已知平面垂直的平面，该平 面与已知平面的交线即为所求。 设过直线9。的平面案方布程为 2x-4y+x+A(3x-y-2:-9)=0, 经整理得 (2+3)x+(-4-A)y+(1-2A):-9A=0. (2+3A)·4+(-4-A)·(-1)+(1-2A)·1=0, 13 得A=代人平面束方程，得 17x+31y-37z-117=0. 因此所求投影直线的方程为 17x+31y-37z-117=0 l4x-y+:=1. 罗16.画出下列各平面所叫成的立体的图形 (1)x=0,y=0,=0,x=2.y=1,3x+4y+2z-12=0: (2)x=0,2=0,x=1y=22=4 解(1)如图8-10(a)；(2)如图8-10(b)
20 一、《高等数学)（第七版）下册习题全解 (b) 图8-10 习题8-5 曲面及其方程 1.一球面过原点及A(4,0,0),B(1,3,0)和C(0.0,-4)三点，求球面的方程及球心 的坐标和半径. 解设所求球面的方程为(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=R2,将已知点的坐标 代人上式，得 a2+b2+c2=R2. (1) (a-4)2+b2+2=R2 (2) (a-1)2+(b-3)2+c2=R2 (3) a2+b2+(4+c)2=R2 (4) 联立(1)(2)得a=2,联立(1)(4)得c=-2,将a=2代入(2)(3)并联立得b= 1,故R=3.因此所求球面方程为(x-2)2+(y-1)2+(:+2)2=9,其中球心坐标为 (2,1,-2),半径为3. 巴2.建立以点(1,3，-2)为球心，且通过坐标原点的球面方程. 解设以点(1,3，-2)为球心，R为半径的球面方程为 (x-1)2+(y-3)2+(:+2)2=R 球面过原点，故 R2=(0-1)2+(0-3)2+(0+2)2=14. 从而所求球面方程为(x-1)2+(y-3)2+(:+2)2=14 四3.方程x2+y2+22-2x+4y+2:=0表示什么l面 解将已知方程整理成 (x-1)2+(y+2)2+(:+1)2=(6)2. 所以此方程表示以(1，一2，-1)为球心.以，6为半径的球面 4.求与坐标原点0及点(2,3,4)的距离之比为1：2的点的全体所组成的曲面的方
第八章向量代数与空间解析几何 21 程，它表示怎样的曲面？ 解设动点坐标为(x,y,),根据题意有 (x-0)2+(y-0)2+(:-0)2.1 Vx-2)2+(0-3)2+(:-472 化简整理得 ++*+}-(号2网 它表示以(-号-1，一号）为球心，以号西为半径的球面。 25.将x0:坐标面上的抛物线2=5x绕x轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程 解以±√2+2代替抛物线方程2=5x中的：，得 (±2+2)2=5x 即 y2+2=5x. 注x0:面上的曲线F(x,)=0绕x轴旋转一周所生成的旋转曲面方程为 F(x.±√y2+)=0. 6.将x0:坐标面上的圆x2+2=9绕：轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程。 解以±2+y2代替圆方程x2+2=9中的x,得 (±2+y)2+2=9. x2+y2+2=9. 27.将x0y坐标面上的双曲线4x2-9y2=36分别绕x轴及y轴旋转一周，求所生成 的旋转曲面的方程. 解以±√2+2代替双曲线方程4x2-9y2=36中的y,得该双曲线绕x轴旋转 周而生成的旋转曲面方程为 4x2-9(±2+22)2=36. 4x2-9(y2+2）=36. 以±√2+2代替双曲线方程4x2-9y2=36中的x,得该双曲线绕y轴旋转一周 而生成的旋转曲面方程为 4(±√x2+2)2-9y2=36. 4(x2+2)-9y2=36. 28.画出下列各方程所表示的曲面： (-:2)号号