12 一、《高等数学》（第七版）下册习题全解 (3)2x-3y-6=0 (4)x-/3y=0: (5)y+=1: (6)x-22=0: (7)6x+5y-=0. 解(1)一(7)的平面分别如图8-8(a)一(g) (1)x=0表示)0：坐标面. (2)3y-1=0表示过点(0,3,0日与y轴垂直的平面。 (3)2x-3y-6=0表示与：轴平行的平面 (4)x-3y=0表示过：轴的平面 (5)y+:=1表示平行于x轴的平面. (6)x-2:=0表示过y轴的平面. (7)6x+5y-:=0表示过原点的平面. (e) (f) (g) 图8-8 5.求平面2x-2y+:+5=0与各坐标面的火角的余弦 解平面的法向量为n=(2,-2.1).设平而与：个坐标面山.小的火角 分别为0，2,0，.则根据平血的方向余弦知 4i
第八章向量代数与空间解析几何 3 ni=(2.-2.1)(1.0.02_2 cos 0:-cosa=mTiT- 31 务m=-2-2:010.号 n。i 3·1 26.一平面过点(1.0，-1)且平行于向量a=(2,1,1)和b=(1,-1,0),试求这平面 方程. 解所求平面平行于向量a和b,可取平面的法向量 i j k n=a×b=211=(1,1,-3) 1-10 故所求平面为1·(x-1)+1·(y-0)-3·(z+1)=0,即 x+y-3:-4=0. a7.求三平面x+3y+:=1,2x-y-:=0,-x+2y+2:=3的交点。 解联立三平面方程 x+3y+:=1, 2x-y-2=0, -x+2y+2:=3. 解此方程组得x=1,y=-1,2=3.故所求交点为(1，-1,3). 8.分别按下列条件求平面方程： (1)平行于x0:面且经过点(2，-5,3)： (2)通过z轴和点(-3,1，-2)： (3)平行于x轴且经过两点(4,0，-2)和(5,1,7). 解(1)所求平面平行于x0:面，故设所求平面方程为By+D=0.将点 (2,-5,3)代人，得 -5B+D=0,即D=5B. 因此，所求平面方程为 By+5B=0,即y+5=0. (2)所求平面过z轴，故设所求平面方程为Ax+By=0.将点(-3,1，-2)代 人，得 -3A+B=0,即B=3A 因此，所求平面方程为 Ax+3Ay=0,即x+3y=0. (3)所求平面平行于x轴，故设所求平面方程为By+C:+D=0.将点(4， 0,-2)及(5,1,7)分别代入方程得 -2G+D=0及B+7C+D=0. 从而解得 c=.B=-n
14 一、《高等数学》（第七版）下册习题全解 因此，所求平面方程为 -++n=0, 即 9y-2-2=0. 9.求点(1,2.1)到平面x+2y+2:-10=0的距离. 解利用点Mo(x000)到平面Ax+B+C:+D=0的距离公式 d=Axo +Byo+Cso+D A2+B2+C2 .1+22+21-10:-3-1 √2+22+22 习题8-4 空间直线及其方程 西1.求过点(4，-1,3)且平行于直线3片；的直线方程 解所求直线与已知直线平行，故所求直线的方向向量s=(2,1.5).直线方程 即为 2 1 巴2.求过两点M1(3,-2,1)和M2(-1.0,2)的直线方程 解取所求直线的方向向量 s=M,M2=(-1-3.0-(-2),2-1)=(-4.2.1) 因此所求直线方程为 2 四3.用对称式方程及参数方程表示直线 fx-y+2=1, l2x+y+2=4. 解根据题意可知已知直线的方向向量 i方k s=1-11=(-2.1.3). 211 聚=0，代人直线方程科：解得==子这样就科到直线经过 3 y+2=4. 的一点(0，子，)因此直线的对称式方程为
第八章向量代数与空间解析几何 15 2 参数方程为 「x=-24, y=号 =乏+3 注由于所取的直线上的点可以不同，因此所得到的直线对称式方程或参数方 程的表达式也可以是不同的. 4.求过点(2,0，-3)且与直线 x-2y+4z-7=0 l3x+5y-2z+1=0 垂直的平面方程。 解根据题意，所求平面的法向量可取已知直线的方向向量，即 i j k n=s=1-24=(-16,14,11). 35-2 故所求平面方程为-16(x-2)+14(y-0)+11(:+3)=0.即 16x-14y-11z-65=0. 西5.求直线-y+3:90与直线t3:+230的夹角的余弦 13x-2y+z-1=0 13x+8y+2-18=0 解两已知直线的方向向量分别为 i方k i j k 51=5-33=(3.4,-1),52=22-1=(10,-5,10), 3-21 381 因此，两直线的夹角的余弦 51·52 cos0=cos()=5 3×10-4×5-1×10 3+4(-10,-+100 56厘到省，5直线位0行 证已知直线的方向向量分别是
16 一、《高等数学》（第七版）下册习题全解 ii k 1=12-1=(3,1,5),s2=36-3=(-9,-3,-15). -211 2-1-1 由s2=-3s1知两直线互相平行. 7.求过点(0,2,4)且与两平面x+2:=1和y-3:=2平行的直线方程. 解所求直线与已知的两个平面平行，因此所求直线的方向向量可取 i j k s=n1×n2=102=(-2,3,1), 01-3 故所求直线方程为 写2 注本题也可以这样解：由于所求直线与已知的两个平面平行，则可视所求直 线是分别与已知平面平行的两平面的交线.不妨设所求直线为 「x+2:=a, 1y-3:=b. 将点(0.2,4)代入上式.得4=8.b=-10.故所求直线为 「x+2:=8, y-3z=-10. ≥8求过点(31.-2)且通过直我行：空：宁的平面方花 解利用平面束方程，过直线；，生》：的平面束方程为 将点(31.-2)代人上式得A-号因光所求平面方型为 号学0 即 8x-9y-22:-59=0. 。9.求直线+30与平面-，-+1=0的火角 lx-y-8=0 i方k 解已知直线的方向向量s=113=(2.4,-2).平而的法向量n= 1-1-1 (1.-1.-1). 设直线与平面的夹角为e.姻