第八章向量代数与空间解析几何 7 其模|M,川|=√(-1)2+(-2)2+12=4=2.其方向余弦分别为 wa=-m=-my分 方向角分别为Q=子mB=子，y=号 16.设向量的方向余弦分别满足(1)cosa=0:(2)co%B=1;(3)co8a=c08B=0,问这 些向量与坐标轴或坐标面的关系如何？ 解(1)由c0sa=0知a=7,故向量与x轴垂直，平行于y0:面 (2)由c0sB=1知B=0,故向量与y轴同向，垂直于x0z面. (3)由coa=6@B=0知c=B=2,故向登垂直于x轴和y轴，即与：轴平行， 垂直于xO,面， ✉17。设向量r的模是4，它与：轴的夹角是牙，求r在：轴上的投彬 解已知r=4,则P,r=rm0=4co牙=4×子=2. 。18.一向量的终点在点B(2,-1,7),它在x轴y轴和z轴上的投影依次为4，-4和 ?.求这向量的起点A的坐标. 解设A点坐标为(x,),则 AB=(2-x,-1-y,7-), 由题意知 2-x=4,-1-y=-4.7-x=7 故x=-2,y=3.2=0,因此A点坐标为(-2,3,0) a19.设m=3i+5列+8k,n=2i-4与-7k和p=5i+j-4k.求向量a=4m+3n-p在x 轴上的投影及在，轴上的分向量 解a=4m+3n-p=4(3i+5j+8k)+3(2i-4j-7k)-(5i+j-4k) =13i+7j+15k, a在x轴上的投影为13，在y轴上的分向量为i 习题8-2N 数量积向量积·混合积 1.设a=3i-j-2k,b=i+2j-k,求 (1)4·b及a×b:(2)(-2a)·3b及a×2b:(3)a.b的夹角的余弦 解(1)a·b=(3,-1,-2)·(1,2,-1) =3×1+(-1)×2+(-2)×(-1)=3
8 一、《高等数学》（第七版）下册习题全解 i j k a×b=3-1-2=(5.1.7). 12-1 (2)(-2a)·3b=-6(a·b)=-6×3=-18. a×2b=2(a×b)=2(5,1.7)=(10,2,14). 6).m 3 3 3 =14622 a2.设a,b.c为单位向量，且满足a+b+c=0,求a·b+b·c+c·a 解已知|a|=|b|=|c=1,a+b+c=0,故(a+b+c)·(a+b+c)=0. 即|a|2+|b|2+c|2+2a·b+2h·c+2c·a=0.因此 a.b.b.cvc.a-(lal:1812.1e1)-3 3.已知M,(1,-1.2),M2(3,3.1)和M3(3.1.3).求与M,.M2同时垂直的单 位向量。 解1，M=(3-1,3-(-1).1-2)=(2.4.-1) M2M3=(3-3,1-3,3-1)=(0,-2.2). 由于M,M×M2M与M,M,M2M同时垂直.故所求向量可取为 ±(M,M,×M,) a=TM,xn,T' i j k M,M×M21=24-1=(6,-4,-4) 0-22 1M,7×M2M1=62+(-4)2+(-4)下=68=2/17 指44六清动 3 2 ✉4.设质量为100kg的物体从点M,(3.1,8)沿直线移动到点1(1,4.2).计算重力 所作的功（坐标系长度单位为m,重力方向为：轴负方向）， 解M1M2=(1-3.4-1.2-8)=(-2.3.-6). F=(0.0.-100×9.8)=(0.0,-980). W=F·M1M2=(0.0,-980)·(-2.3,-6)=5880(J). 回5.在杠杆上支点0的一侧与点0的离为x,的点，处，有一与P成角心，的方 F,作用着：在0的另一侧与点0的距高为s,的点P,处.行一与0P成角，的力F 作用着（图8-6）.间a,.F,.下，符介怎样的条件才能使杠杆保持
第八章向量代数与空间解析几何 9 平衡？ F 8入 1 P:P 图8-6 解如图8-6.已知有固定转轴的物体的平衡条件是力矩的代数和为零，又由 对力矩正负符号的规定可得杠杆保持平衡的条件为 F1|x1sin01-|F2|x2sin02=0, 即 Fxsin 01=F2 x2sin 02. a6.求向量a=(4,-3,4)在向量b=(2,2,1)上的投影. 解ma=6.422山-g2 √22+22+1下 27.设a=(3.5,-2),b=(2,1.4),问A与4有怎样的关系，能使得Aa+ub与z轴 垂直？ 解Aa+ub=A(3.5,-2)+u(2,I.4)=(3A+2μ，5入+4，-2A+4μ) 要Aa+ab与：轴垂直，即要(Aa+ub)⊥(0,0,1)，即 (Aa+b)·(0.0,1)=0, 亦即 (3A+2μ，5A+4,-2A+4u）·(0,0,1)=0, 放-2A+4u=0,因此当A=2μ时能使Aa+ub与：轴垂直. 8.试用向量证明直径所对的例周角是直角. 证如图8-7，设AB是圆0的直径，C点在圆周上，要证LACB=只要证 AC.B配=0即可.由 AC.BC=(Ad+O元)·(Bd+OC =Ad.Bd+A0.0元+0元.B0+10C12 =-A012+Ad.0元-A6.0C+10C12=0. 故AC⊥BC.∠ACB为直角. 图8-7 9.已知向量a=2i-3对+k,b=i-j+3k和c=i-2j,计算：
10 一、《高等数学》（第七版）下册习题全解 (1)(a·b)c-(a·c)b:(2)(a+b)×(b+c):(3)(a×b)·c 解(1)a·b=(2.-3.1)·(1,-1,3)=8,a·c=(2,-3,1)·(1,-2,0)=8. (a·b)c-(a·c)b=8(1,-2.0)-8(1.-1,3)=(0,-8.-24) =-8j-24k. (2)a+b=(2,-3.1)+(1,-1,3)=(3,-4,4), b+c=(1,-1.3)+(1,-2.0)=(2,-3,3), i jk (a+b)×(b+c)=3-44=(0.-1,-1)=-j-k 2-33 2-31 (3)(a×b)·c=1-13=2 1-20 四10.已知0=i+3k,03=j+3k,求△0AB的面积. 解由向量积的几何意义知 Sao=子0ix0i, i j k 0i×0i=103=(-3,-3,1) 013 0i×0i|=√(-3)2+(-3)2+1=/19 故 11.已知a=(a,a,a:),b=(b,b,.b),c=(c,c,c,).试利用行列式的性质 证明： (axb)·c=(bxc)·a=(exa)·b. bb.h. 证因为(a×b)·c=b,b,b:.(bxc)·a=c,6,c: e.c,c. a.a,d c,e,c: (cxa)·b=a,a: b,b、b: a,u,a.b.b.b.c. 而行列式的性质知b,6,6:=,:=，“，:故 0,a6,6,6 (axb）·c=(b×c)·a=(c×a)·h
第八章向量代数与空间解析几何 11 12.试用向量证明不等式： √a+a+a,/所+b+b≥|a,b1+ab2+ab, 其中a1,a2,a3,b1,b2,b3为任意实数.并指出等号成立的条件. 证设向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3）.由a·b=ab|cos(a,b)知， a·b|=|a川b‖eos(a,b)|≤allb|,从而 a,b+ab2+a03≤√a+a+a6+b+b, 当a与4成比锅，母公号-号时，上述等式成立 阿题83 平面及其方程 2a1.求过点(3,0，-1)且与平面3x-7y+5:-12=0平行的平面方程. 解所求平面与已知平面3x-7y+5:-12=0平行.因此所求平面的法向量可 取为n=(3,-7,5),设所求平面为 3x-7y+5z+D=0. 将点(3,0，-1)代人上式得D=-4.故所求平面方程为 3x-7y+5:-4=0. a2.求过点M。(2,9,-6)且与连接坐标原点及点M。的线段0M。垂直的平面方程. 解0M。=(2,9,-6).所求平面与0M垂直，可取n=0M。,设所求平面方程为 2x+9y-6z+D=0. 将点Mn(2,9.-6)代入上式，得D=-121.枚所求平面方程为 2x+9y-6:-121=0. 3.求过(1,1，-1)，(-2，-2,2)和(1，-1,2)三点的平面方程. x-1y-1云+1 解由-2-1-2-12+1=0，得x-3y-2:=0,即为所求平面方程 1-1-1-12+1 注设M(x,y,2)为平面上任一点，M:(x,)(i=1,2,3)为平面上已知点 由M,·(M,M×M1M)=0,即 x-x1y-y1名-21 x2-x12-12-1=0, x3-1y为-1-1 它就表示过已知三点M,(i=1,2,3)的平面方程 为4.指出下列各平面的特殊位置，并画出各平面： (1)x=0: (2)3y-1=0: