北京邮电大学出版社：21世纪高等学校规划教材《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第8章 重积分 第4节 三重积分的概念及计算

如果域Dm可写成 D={(x,yy(x)≤y≤2(x),A≤x≤b}, 2={(x,y,2川(x,y)≤z≤2(x,y),1(x)≤y≤2(x),A≤x≤b} 得到三重积分的计算公式： av-fd BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 ( , , )d d d ( , , )d . ( , ) ( , ) ( ) ( ) 2 1 2 1       z x y z x y y x y x b a f x y z V x y f x y z z 如果域Dxy可写成 得到三重积分的计算公式： {( , )| ( ) ( ), }, Dxy  x y y1 x  y  y2 x a  x  b {( , , )| ( , ) ( , ), ( ) ( ), }.   x y z z1 x y  z  z2 x y y1 x  y  y2 x a  x  b

例8.4.2计算三重积分1=j。xzd,其中2是由平 面x=0,y=0,z=0及x十y十2=1所围成的闭区域. 解：如图D,={(x,y川0≤y≤1-x,0≤x≤1 2={(x,y,2)川0≤z≤1-x-y,0≤y≤1-x,0≤x≤1} i-fdxg dyp xyzdz x+y+z=1 -3 B(0,10) -240-d✉ 19 A(1,0,0) 720 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 下 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 例8.4.2 计算三重积分 其中Ω是由平 面x＝0，y＝0，z＝0及x＋y＋z＝1所围成的闭区域． d ,  I  x yz V 解:如图        x x y I x y xyz z 1 0 1 0 1 0 d d d D {(x, y)| 0  y 1 x,0  x 1}. xy A(1,0,0) x y z x  y  z 1 O B(0,1,0)  {(x, y,z)| 0  z 1 x  y,0  y 1 x,0  x 1},             x x y x xyz y 1 0 1 0 2 1 0 d 2 1 d    1 0 4 (1 ) d 24 1 x x x . 720 1 

2.“先重后单”法（截面法） 设空间区域2在z轴上的投影为区间 [e,,在[e,内任取一点z,过该 点作垂直于轴的平面，截2得一平 面区域DE), 2={(x,y,z)|(x,y)∈D(z),e≤z≤f} fdv=fddxdy. BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 2. “先重后单”法 (截面法) 设空间区域Ω在z轴上的投影为区间 [e，f]，在[e，f]内任取一点z，过该 点作垂直于z轴的平面，截Ω得一平 面区域D(z)， ( , , )d d ( , , )d d .    ( )    D z f e f x y z V z f x y z x y

例8.4.6计算三重积分 oaxdydz, 其中2： 3 62 ≤1. -C≤z≤C .x2 用“先重后单” Jo子dxdyd==∫ed-xdy -2fa1-5a= πabc3 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 下页返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 x y 例8.4.6 计算三重积分 z 解:  :    z d xd y d z 2     c c z c z 2 z π ab(1 )d 2 2 2  c  z  c 2 2 2 2 2 2 : 1 c z b y a x Dz    Dz d xd y  c c z d z 2 3 π 15 4  abc a b c 用“先重后单 ” Dz z O