随机变量函数的数学期望: 1)离散型 设rv.X的分布律为P(X=x)=P,k=1,2 r.Y=f(X,如级数∑f(xk)绝对收敛 则rv.y=f的数学期望EY=∑f(xk) k=1 2)连续型 设rv.X的概率密度函数gx(x),rv.Y=f(X), 如广义积分f(x)9x(x)dc绝对收敛 则rvY=f(x的数学期望EY=/。 f(xx (d 2012/10/31
2012/10/31 6 随机变量函数的数学期望： 设 r.v. X 的分布律为 ( ) , 1, 2, P X x p k k k 1 ( ) . k k k EY f x p r.v. Y = f (X) ， 如级数 绝对收敛， 1 ( ) k k k f x p 则 r.v. Y = f (X) 的数学期望 1）离散型 2）连续型 设 r.v. X 的概率密度函数 φX (x) ， r.v. Y = f (X) ， 如广义积分 f x x dx ( ) ( ) X 绝对收敛， 则 r.v. Y = f (X) 的数学期望 ( ) ( ) . EY f x x dx X
随机变量数学期望的性质: )设ξ=c,则E5=Ec=C 2)若k为常数,则E(k4)=kE5 3)若b为常数,则E(5+b)=E5+b 由2)、3)得E(al+b)=aE5+b 4)若两个随机变量ξ、,则E(+m)=E+En 可推广至有限个 E(X1+X2+…+Xn)=EX1+EX2+…+EXn 5)若随机变量占、相互独立,则E(m)=EE 可推广至有限个:若X1、X2、X相互独立,则是 E(X1·X2…Xn)=EX1·EX2…EXn 2012/10/31
2012/10/31 7 随机变量数学期望的性质： 1）设 c ，则 E Ec c 2）若 k 为常数 ，则 E k kE ( ) 3）若 b 为常数 ，则 E b E b ( ) 由 2）、3）得 E a b aE b ( ) 4）若两个随机变量 、 ，则 E E E ( ) 可推广至有限个 1 2 1 2 ( ) E X X X EX EX EX n n 5）若随机变量 、 相互独立，则 E E E ( ) 可推广至有限个：若 X1 、 X 2 、… X n 相互独立，则 1 2 1 2 ( ) E X X X EX EX EX n n
常见分布的数学期望 1)二点分布(0-1分布) 分布律:P{5=1=p 5=0}=1-p=q 0<p,q<1 E5=1.p+0.(1-p)=P 2012/10/31
2012/10/31 8 常见分布的数学期望 1）二点分布（0-1 分布） 分布律： P p 1 P p q 0 1 0 , 1 p q E p p 1 0 (1 ) p
2)二项分布 分布律:P{5=4}=Cp(1-p)"kk=0,1,2,…,n E5=∑kP(5=k)=∑kCp(1-p)2k k=0 ∑ k n! p^(1-p) n-k k=o k! (n-k! (n-1)! P(1-P)" k(k-1)(n-k) =m∑Cp4(1-p) k=1 =m∑Cp(1-p) n-k-1 =0 2012/10/31 9
2012/10/31 9 2）二项分布 P k (1 ) k k n k C p p n 分布律： k n 0, 1, 2, , 0 ( ) n k E k P k 0 (1 ) n k k n k n k k C p p 0 ! (1 ) !( )! n k n k k k n p p k n k 1 1 ( 1)! (1 ) ( 1)!( )! n k n k k n np p p k n k 1 1 1 1 (1 ) n k k n k n k np C p p 1 1 0 (1 ) n k k n k n k np C p p np