组B-a,B-a2,…,B-am的线性相关性 解解法一（从定义出发） 设4(B-a)+42(B-a2)+…1(B-am)=0 即6++…+1n)a1+(（4+4+…+1n)a2+…+(化++…+1n-an=0 由a1,42,…,0m线性无关知，系数4,2，…，1m必满足 [+43+…+=0 1+13+…+1m=0 4+12+…+1=0 这是一齐次线性方程组没，其系数行列式 01… 1 D=10. =()-(m-)≠0 11… 所以齐次方程组只有零解，即===【m=0,故B-,B-a2,…,B-am线性 无关。 解法二（利用矩阵的秩） [B-,B-a2,…,B-an]=[a2+a3+…+an,a1+a3+…+am,…,a1+a2+…+am] 01…1门 10…1 =a1,a2…,a: 11…0 「01…11 10…1 由解法一知，矩阵11…0满秩，放 rB-a:B-az.B-a.]=ra.az.a] 而由a,a,…,am线性无关性知，a2,…a]上=m,所以 [B-a,B-a2,…,B-an]=m,即B-a,B-a,B-am线性无关。 3)有关线性表出与线性相关性的证明 其证明方法为： 要证a可由B,B,…,Bm线性表出，可以 PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建，fineprint,cn
组 b -a b -a b -am , , , 1 2 L 的线性相关性。 解 解法一（从定义出发） 设 ( ) ( ) ( ) 0 t 1 b -a1 + t 2 b -a2 +Ltm b -am = 即( ) ( ) ( ) 0 t 2 + t 3 +L+ tm a1 + t 1 + t 3 +L+ tm a2 +L+ t 1 + t 2 +L+ tm-1 am = 由a a am , , , 1 2 L 线性无关知，系数 m t ,t , ,t 1 2 L 必满足 ï ï î ï ï í ì + + + = + + + = + + + = - 0 0 0 1 2 1 1 3 2 3 m m m t t t t t t t t t L LL L L 这是一齐次线性方程组没，其系数行列式 ( 1) ( 1) 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 = = - - ¹ - D m m L M M M L L 所以齐次方程组只有零解，即 0 t 1 = t 2 = L = tm = ，故 b -a b -a b -am , , , 1 2 L 线性 无关。 解法二（利用矩阵的秩） [ ] [ ] [ ] ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é = - - - = + + + + + + + + + - 1 1 0 1 0 1 0 1 1 , , , , , , , , , 1 2 1 2 2 3 1 3 1 2 1 L M M M L L L L L L L L m m m m m a a a b a b a b a a a a a a a a a a 由解法一知，矩阵 ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é 1 1 0 1 0 1 0 1 1 L M M M L L 满秩，故 [ ] [ ] m m r b -a1 ,b -a2 ,L,b -a = r a1 ,a2 ,L,a 而由a a am , , , 1 2 L 线性无关性知r[a1 ,a2 ,L,am ]= m ，所以 r[b -a1 , b -a2 ,L, b -am ] = m ，即 b -a b -a b -am , , , 1 2 L 线性无关。 3) 有关线性表出与线性相关性的证明 其证明方法为： (1) 要证a 可由 b b bm , , , 1 2 L 线性表出，可以 PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn
① 证明式4B+4B+…+1nBn+1a=0中1≠0 ② 证明方程组BB,…B=a有解。 @ 用反证法。 (2)要证C,,…,am线性相关，可以利用 定义 ② 结合齐次线性方程组利用矩阵的秩或行列式 ③ 反证法（这是重娄方法） (3)也可用线性表出与线性相关之间关系的有关定理. 例6设a,2…,a。是一个n维向量组，证明4，C2,…,m线性无关当且仅当人仪n维 向量均可由它们线性表出 证："→”对任意BeR 若B=a,则显然有B=0%++0a+a,+0a1+…+0a。 若B≠a,则由，，“，a。,P线性相关得 存在全不为零的数…1.1使 4a1+1a2+…+1n+邛=0 若0，由%，%，…，am线性无2关性知必有4==…=1n=0,与4,4，…，1n,1不全为 季子商所以10从看B可由收4&线性表国B-空引 "="设单位向量e,2,…,en为n阶单位阵I的n个列向量 证法一由己知得均可由,,,a线性表示，从而有 e,e2…e]-4,a2.an]P 其中n阶方阵P的每一列即为e由a,a:0,线性表出的表示式中的系数，由于 dete,e,e,]==1≠0所以det4,a2an]≠0，这就说明a,aan是线性无关 的 证法二设A=[a,a,a由A=A,即[a,a,…an]=[e,e4可知a,均可由 e,e2…e。线性表出，又由己知号也可都由a1,a2…an线性表出，所以两向量等价，从而它 PDF文件使用”pdfFactory Pro”试用版本创建，fineprint,cn
① 证明式 0 0 t 1b1 + t 2b2 +L+ tm bm + ta = 中t ¹ 。 ② 证明方程组[b1 b2 L bm ]x = a 有解。 ③ 用反证法。 (2) 要证a a am , , , 1 2 L 线性相关，可以利用 ① 定义 ② 结合齐次线性方程组利用矩阵的秩或行列式 ③ 反证法（这是重要方法） (3) 也可用线性表出与线性相关之间关系的有关定理. 例 6 设a a an , , , 1 2 L 是一个 n 维向量组,证明a a an , , , 1 2 L 线性无关当且仅当人仪 n 维 向量均可由它们线性表出. 证: "Þ" 对任意 n b Î R 若 b = ai ,则显然有 b a ai ai ai an 0 0 0 0 = × 1 +L+ × -1 + + × +1 +L+ 若 b ¹ ai ,则由a1 ,a2 ,L,an , b 线性相关,得 存在全不为零的数t t t t n , , , , 1 2 L 使 0 t 1a1 + t 2a2 +L+ tmam + tb = 若t=0,由a a an , , , 1 2 L 线性无2关性知必有 0 t 1 = t 2 = L = t n = ,与t t t t n , , , , 1 2 L 不全为 零矛盾,所以t ¹ 0 ,从而 b 可由a a an , , , 1 2 L 线性表出,即 i n i i t t b å a = ÷ ø ö ç è æ = - 1 . "Ü"设单位向量 n e , e , , e 1 2 L 为 n 阶单位阵 I 的 n 个列向量. 证法一 由已知得 i e 均可由a a an , , , 1 2 L 线性表示,从而有 [e1 , e2 ,...en ] = [a1 , a2 ,...an ]P 其中n 阶方阵 P 的每一列即为 i e 由 n a , a ,...a 1 2 线性表出的表示式中的系数,由于 det[e1 , e2 ,...en ] = I = 1 ¹ 0 ,所以 det[ , ,... ] 0 a1 a2 an ¹ ,这就说明 n a , a ,...a 1 2 是线性无关 的. 证法二 设 [ ] n A a , a ,...a = 1 2 ,由 A = IA,即[a1 , a2 ,...an ] = [e1 , e2 ,...en ]A可知, i a 均可由 n e , e ,...e 1 2 线性表出,又由已知 i e 也可都由 n a , a ,...a 1 2 线性表出,所以两向量等价,从而它 PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn