第四章向量 4.1基本内容 4.11n维向量 n维列向量a 与n维行向量B'=么么…6，小即为nx1及1×n矩阵， 因而它们的运算也即为矩阵运算，列向量与行向量统称为向量。 注为方便起见，除特别说明外，本书所称向量均指列向量，从而其转置即为行向量。 4.12向量的内积 设a=41a,…a了，B=6b2…b ()定义 称 a,B）=a6+a4.++a.b.=2ab 为向量a,B的内积。 (2)性质 (a,B〉=(B,a)=a'B=B'a (a+B,y〉=(a,y〉+(B,y〉 (ka,B)=k(a,B) (a,a20等号当且仅当a=0时成立 (3)有关概念 向量的范数：个=Va,a=Vaa 单位向量：若=1，则称α为单位向量。 向量的标准化（范化：《≠0称可“为a的标准化向量。 两向量的正交：若a,B)=0,则称a与B正交. 4.13线性组合，线性相关，线性无关的定义 设a1,2,…,am是一组n维向量 PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建w,fineprint,cn
第四章 向量 4.1 基本内容 4.1.1 n 维向量 n 维列向量 ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç ç ç è æ = an a a M 2 1 a 与 n 维行向量 [ ] n T b = b1 b2 K b 即为n ´1及1´ n 矩阵， 因而它们的运算也即为矩阵运算，列向量与行向量统称为向量。 注 为方便起见，除特别说明外，本书所称向量均指列向量，从而其转置即为行向量。 4.1.2 向量的内积 设 [ ] T n a a L a a = 1 2 ， [ ] T n b b L b b = 1 2 (1) 定义 称 å= = + + + = n i n n i i a b a b a b a b 1 1 1 2 2 a, b L 为向量a, b 的内积。 (2) 性质 a b b a a b b a T T , = , = = a + b,g = a,g + b,g ka, b = k a, b a,a ³ 0 等号当且仅当a = 0时成立 (3) 有关概念 向量的范数： a a a a a T = , = 单位向量：若 a = 1，则称a 为单位向量。 向量的标准化（规范化）；a ¹ 0称 a a 1 为a 的标准化向量。 两向量的正交：若 a, b = 0，则称a与b 正交。 4.1.3 线性组合，线性相关，线性无关的定义 设a a am , , , 1 2 L 是一组 n 维向量 PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn
()线性组合：设B是一个n维向量，若存在一组数，4，…，m,使 B=1,a1+12a2+…+1n0m 则称B为向量组%，，Cm的一个线性组合，或称B可由向量组%，，…，am线 性表出。 注设两组向量(Da,2…0,()B,B…,B,若每一个a,=1,2…,m) 都可由B,B,…,Pm线性表出，则称向量组（①可由向量组(）线性表出：当向 量组()与()可互相表出时，称向量组()与()等价。 (2)线性相关：若存在一组不全为零的数4，，…，1,4a1+1,a2+…+1an=0, 则称向量组C,a2…,m线性相关。 (3)线性无关：若当且仅当4==…=1m=0时，4a,+142+…+1a=0才 成 立，则称，…，Cm线性无关。 注对一组向量来说，不是线性相关，就是线性无关，二者必居其一。 4.1.4向量的线性表出及线性相关性与线性方程组的关系 ()B可由a,,…,a线性表出台线性方程组a,4,,a=B有解台矩 阵1，a,…,a]的秩等于矩阵，a2,…,a,阝]的秩 (2)a1,a,…,am线性相关一齐次线性方程组，a,…,am小水=0有非零解台矩 阵a,a,,am]的秩小于m (3)a,%,…,am线性无关一齐次线性方程组，2，…，ank=0只有零解台矩 阵，凸，…，a]的秩等于m 4.1.5向量的线性相关性的有关结论 (1)仅含一个向量的向量组线性相关一a=0 (2)任何含有零向量的向量组必线性相关 (③)含线性相关部分组的向量组必线性相关（即增加向量不改变线性相关） 注(3)可等价地写成：线性无关向量组的任一部分组必线性无关 (④)线性无关的向量组的各向量扩充分量后仍线性无关（即增加分最不改变线性相 注(4)可等价地写成：线性相关向量组的各向量减少分量后仍线性相关 (⑤)任意m个n维向最，当m>n时必线性相关 PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建，fineprint,cn
(1) 线性组合：设 b 是一个 n 维向量，若存在一组数 m t ,t , ,t 1 2 L ，使 m m b = t 1a1 + t 2a2 +L+ t a 则称 b 为向量组a a am , , , 1 2 L 的一个线性组合，或称 b 可由向量组a a am , , , 1 2 L 线 性表出。 注 设两组向量（I）a a am , , , 1 2 L ，（II）b b b m , , , 1 2 L ，若每一个 (i m) i a = 1,2,L, 都可由 b b b m , , , 1 2 L 线性表出，则称向量组（I）可由向量组（II）线性表出；当向 量组（I）与（II）可互相表出时，称向量组（I）与（II）等价。 (2) 线性相关：若存在一组不全为零的数 m t ,t , ,t 1 2 L ， 0 t 1a1 + t 2a2 +L+ tmam = ， 则称向量组a a am , , , 1 2 L 线性相关。 (3) 线性无关：若当且仅当 0 t 1 = t 2 = L = tm = 时， 0 t 1a1 + t 2a2 +L+ tmam = 才 成 立，则称a a am , , , 1 2 L 线性无关。 注 对一组向量来说，不是线性相关，就是线性无关，二者必居其一。 4.1.4 向量的线性表出及线性相关性与线性方程组的关系 (1) b 可由a a am , , , 1 2 L 线性表出 Û 线性方程组[a1 ,a2 ,L,am ]x = b 有解 Û 矩 阵[ ] a a am , , , 1 2 L 的秩等于矩阵[a ,a , ,a , b ] 1 2 L m 的秩 (2) a a am , , , 1 2 L 线性相关 Û 齐次线性方程组[ , , , ] 0 a1 a2 L am x = 有非零解 Û 矩 阵[ ] a a am , , , 1 2 L 的秩小于 m (3) a a am , , , 1 2 L 线性无关 Û 齐次线性方程组[ , , , ] 0 a1 a2 L am x = 只有零解 Û 矩 阵[ ] a a am , , , 1 2 L 的秩等于 m 4.1.5 向量的线性相关性的有关结论 (1) 仅含一个向量a 的向量组线性相关Û a = 0 (2) 任何含有零向量的向量组必线性相关 (3) 含线性相关部分组的向量组必线性相关（即增加向量不改变线性相关） 注(3)可等价地写成：线性无关向量组的任一部分组必线性无关 (4) 线性无关的向量组的各向量扩充分量后仍线性无关（即增加分量不改变线性相 关） 注(4)可等价地写成：线性相关向量组的各向量减少分量后仍线性相关 (5) 任意 m 个 n 维向量，当m > n 时必线性相关 PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn
(⑤向量组凸1,42，…，m(m之2)线性相关,凸2，…，am中至少有一个向最可 由其余向量线性表出 (7)向景组，，…，am线性无关，而a,a,…,amB线性相关台B可由 1,,…,am线性表出，且表达式唯 (8若向量组()41，a2,,a,线性无关，且可由向量组()B,B…,B线性表 出，则r≤s (⑨)不含零向量的正交向量组必线性无关 4.1.6向量组的极大无关组与向量组的秩 (1)定义：设()a,,C,是()1,42，…，a。的一个部分组，并且满足： ①0…，a,线性无关，②()中任一向量a:k=1,2,…,m)都可由() 线性表出。则称部分组()为原向量组()的一个极大无关组，并称数r为向 量组()的秩，记作r()或ra,a2,…,an} 一个向量组的极大无关组一般不是唯一的，但其每一个极大无关组所含向量个数 必是相等的，即为该向量组的秩 (2)性质： ①线性无关向量组的极大无关组即为其本身 ②向量组与其任一极大无关组等价 ③向量组的任意两个极大无关组等价 ④等价向量组的极大无关组等价 ⑤等价向量组的秩相等，但其逆不成立 ⑥若向量组的秩为「，则其中任章下个线性无关的向量都是它的一个极大无关 (3)向量组的秩与矩阵的秩之间的关系 将m×n矩阵A按行或列分块 a =[B,B2…B] a 向量组（①,,…,,()月，月，，月.分别为A的行向量组与列向量 组，则r(A)=可()=r(Ⅱ) 注1由此结论可容易推出矩阵运算后秩的关系式 注2a,a,…,a如线性无关台r(A)=m B,B2,…,Bn线性无关台r(A)=m PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建，fineprint,cn
(6) 向量组a a am , , , 1 2 L (m ³ 2) 线性相关 Û a a am , , , 1 2 L 中至少有一个向量可 由其余向量线性表出 (7) 向量组 a a am , , , 1 2 L 线 性 无 关， 而 a1 ,a2 ,L,am , b 线 性 相 关 Û b 可 由 a a am , , , 1 2 L 线性表出，且表达式唯一 (8) 若向量组（I）a a ar , , , 1 2 L 线性无关，且可由向量组（II）b b bs , , , 1 2 L 线性表 出，则 r £ s (9) 不含零向量的正交向量组必线性无关 4.1.6 向量组的极大无关组与向量组的秩 (1) 定义：设（I） r ai ai ai , , , 1 2 L 是（II）a a am , , , 1 2 L 的一个部分组，并且满足： ① r ai ai ai , , , 1 2 L 线性无关，②（II）中任一向量 (k m) k a = 1,2,L, 都可由（I） 线性表出。则称部分组（I）为原向量组（II）的一个极大无关组，并称数 r 为向 量组（II）的秩，记作 r（II）或 r{a1 ,a2 ,L,am } 注 一个向量组的极大无关组一般不是唯一的，但其每一个极大无关组所含向量个数 必是相等的，即为该向量组的秩 (2) 性质： ① 线性无关向量组的极大无关组即为其本身 ② 向量组与其任一极大无关组等价 ③ 向量组的任意两个极大无关组等价 ④ 等价向量组的极大无关组等价 ⑤ 等价向量组的秩相等，但其逆不成立 ⑥ 若向量组的秩为 r，则其中任意 r 个线性无关的向量都是它的一个极大无关 组 (3) 向量组的秩与矩阵的秩之间的关系 将m ´ n 矩阵 A 按行或列分块 [ ] n T m T T A b b b a a a L M 1 2 2 1 = ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é = 向量组（I） T m T T a1 ,a2 ,L,a ，（II） b b bn , , , 1 2 L 分别为 A 的行向量组与列向量 组，则 r（A）=r（I）=r（II） 注 1 由此结论可容易推出矩阵运算后秩的关系式 注 2 T m T T a1 ,a2 ,L,a 线性无关Û r（A）=m b b bn , , , 1 2 L 线性无关Û r（A）=n PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn
注3上述结论实际上也给出了向量组求秩的一个具体算法，即可利用矩阵的初等变 4.17极大无关组的求法 (1)录选法 ①在向量组中任取一个非零向量作为“ ②取一个与，的对应分量不成比例的向量作为a。 ③取一个不能由，：线性表出的向量作为，：，继续作下去便可求得极大 无关组 注这一方法仅适合于向量组中向量个数较少的情形 (2)行初等变换法 第一种方法：将向量组中各向量作为矩阵的行 ①对A进行行初等变换化为行梯形啊 ②将所做过的行对换回去 则非全零行所对应的向量所构成的向量组即为极大无关组 第二种方法：将向量组中各向量作为矩阵的列 ①对A进行行初等变换化为行梯形阵 ②在每个阶梯上取一列 则对应的向量所构成的向量组即为极大无关组 4.1.8向量空间 ()定义：在非空集合V的元素间定义加法a+B和数乘ka,若V对所定义的加 法与数乘封闭，即任意的a,B∈有a+BeK,ka∈P,且加法满是： ①a+B=B+a ②(a+B)+y=a+(B+y) ③存在零元素0∈V,有a+0=a ④对任一元素,存在负元素-a,使a+(-a)=0 数乘满足： ⑤1a=a ©k(la)=(kda 两种运算满足： ⊙k(a+B)=ka+k邸 ⑧(k+l)a=ka+la PDF文件使用"pdfFactory Pro'”试用版本创建，fineprint.cn
注 3 上述结论实际上也给出了向量组求秩的一个具体算法，即可利用矩阵的初等变 换 4.1.7 极大无关组的求法 (1) 录选法 ① 在向量组中任取一个非零向量作为 1 ai ② 取一个与 1 ai 的对应分量不成比例的向量作为 2 ai ③ 取一个不能由 1 ai ， 2 ai 线性表出的向量作为 3 ai ，继续作下去便可求得极大 无关组 注 这一方法仅适合于向量组中向量个数较少的情形 (2) 行初等变换法 第一种方法：将向量组中各向量作为矩阵的行 ① 对 A 进行行初等变换化为行梯形阵 ② 将所做过的行对换回去 则非全零行所对应的向量所构成的向量组即为极大无关组 第二种方法：将向量组中各向量作为矩阵的列 ① 对 A 进行行初等变换化为行梯形阵 ② 在每个阶梯上取一列 则对应的向量所构成的向量组即为极大无关组 4.1.8 向量空间 (1) 定义：在非空集合 V 的元素间定义加法 a + b和数乘ka ，若 V 对所定义的加 法与数乘封闭，即任意的a, b ÎV有a + b ÎV，ka ÎV ，且加法满足： ①a + b = b +a ②(a + b ) + g = a + (b + g ) ③ 存在零元素0ÎV，有a + 0 = a ④ 对任一元素a ，存在负元素 -a ，使a +（-a）= 0 数乘满足： ⑤1×a = a ⑥k(la) = (kl)a 两种运算满足： ⑦k(a + b ) = ka + kb ⑧(k + l)a = ka + la PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn
则称带有这种线性运算的集合V为线性空间，若线性空间中的元素为向量，就称为向 量空间，我们仅讨论向量空间。 注所有维向量所构成的向量集对向量的线性运算构成一个向量空间R”，本书中 所讨论的向量空间仅限于R”或其子空间 ②)子空间：设有向量空间，，若二，则称为的子空间 注向量空间V的一个非空子集，若对V上的线性运算封闭则是V的子空间 (3)生成空间：设有向量组a1,,…,a,则0，，…，的所有线性组合构成的 向量空间，称为由4，a…,生成的空间，记作pna,a,…,a）,即 span(a,a,…,am)=a=4a1+1,a3+…+Lc∈Ri=l,2,…,m} 4.19向量空间的基和维数 (1)基与维 若向最空间V中的一组向量C,2,…,,满足： ①1，，…，C,线性无关 ②每个a∈V,可由a1,a2,,a，即a=4a1+1,a,++1,a,,则称 a1,a2,,a,为V的一组基，其所含向量个数r为向最空间V的维数，记作dimV=r, 也称V为r维向量空间，而称系数，2，…，，为a在基1,2，…，a,下的坐标。 注1一个向量空间V的基一般不止一个，但任一组基所含向最个数是固定的， 即为dim',可以推出dimR”=n 注2向量α在一组基下的坐标是唯一的 注3任一向量空间V必是其一组基4，a,…,a,的生成空间，即 V=span(a1,a2,…,a,） *(2)基变换与坐标变换 ①设，a,…m和B,B,,Bn是向量空间R的两组基，且 B1=41a1+t212+…+1n1an B2=laa1+lna+…+ln2a Bn=1na1+na2+…+1a PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建w,fineprint,cn
则称带有这种线性运算的集合 V 为线性空间，若线性空间中的元素为向量，就称为向 量空间,我们仅讨论向量空间。 注 所有 n 维向量所构成的向量集对向量的线性运算构成一个向量空间 n R ，本书中 所讨论的向量空间仅限于 n R 或其子空间 (2) 子空间：设有向量空间 1 2 V ,V ，若V1 Í V2 ，则称V1为V2 的子空间 注 向量空间 V 的一个非空子集，若对 V 上的线性运算封闭则是 V 的子空间 (3) 生成空间：设有向量组a a am , , , 1 2 L ，则a a am , , , 1 2 L 的所有线性组合构成的 向量空间，称为由a a am , , , 1 2 L 生成的空间，记作 ( ) m span a1 ,a2 ,L,a ，即 span(a1 ,a2 ,L,am ) = {a = t 1a1 + t 2a2 +L+ tmam | t i Î R,i = 1,2,L, m} 4.1.9 向量空间的基和维数 (1) 基与维 若向量空间 V 中的一组向量a a ar , , , 1 2 L 满足： ①a a ar , , , 1 2 L 线性无关 ② 每 个 a ÎV,a可由 a a ar , , , 1 2 L ， 即 r r a = t 1a1 + t 2a2 +L+ t a ，则称 a a ar , , , 1 2 L 为V的一组基，其所含向量个数r为向量空间V的维数，记作dimV = r ， 也称 V 为 r 维向量空间，而称系数 r t ,t , ,t 1 2 L 为a 在基a a ar , , , 1 2 L 下的坐标。 注1 一个向量空间 V 的基一般不止一个，但任一组基所含向量个数是固定的， 即为dimV ，可以推出 R n n dim = 注2 向量a 在一组基下的坐标是唯一的 注3 任 一向量 空 间 V 必 是 其 一 组 基 a a ar , , , 1 2 L 的 生 成 空 间 ， 即 ( )r V = span a1 ,a2 ,L,a *（2）基变换与坐标变换 ① 设a a an , , , 1 2 L 和 b b bn , , , 1 2 L 是向量空间 n R 的两组基，且 ï ï î ï ï í ì = + + + = + + + = + + + n n n nn n n n n n t t t t t t t t t b a a a b a a a b a a a L LL L L 1 1 2 2 2 12 1 22 2 2 1 11 1 21 2 1 PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn