上式称为由基a,a…,a到月，月…，B.的基变换公式，若记T=化，，则 基变换公式可表示为 B,B2…Bn]=a12…a 矩阵T称为基a,a,…,n到基B,B,…,Bn的过渡矩阵 注过渡矩阵必可逆 ②对V中任一向量a,若a在基%，a2,,am与基B,B,,B。下的坐标分别 为，x2,…,x。和…，则由 「x1 a=xa+xa++xa=aa…a5 LxnJ =++=[BB:B.] y 可得…x了=T…y了 =T 称为坐标变换公式 4.1.10施密特正交化方法 任给V中的一组基1,2，，4，可由施密特正交化过程构造出一组新的正交基 B1=4 A=a会A … 4.1.11标准正交基 PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建，fineprint,cn
上式称为由基a a an , , , 1 2 L 到 b b bn , , , 1 2 L 的基变换公式，若记 ( ) n n ij T t ´ = ，则 基变换公式可表示为 [ ] [ ] T b1 b2 L bn = a1 a2 L an 矩阵 T 称为基a a an , , , 1 2 L 到基 b b bn , , , 1 2 L 的过渡矩阵 注 过渡矩阵必可逆 ② 对 V 中任一向量a ，若a 在基a a an , , , 1 2 L 与基 b b bn , , , 1 2 L 下的坐标分别 为 n x , x , , x 1 2 L 和 n y , y , , y 1 2 L ，则由 [ ] ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é = + + + = n n n n x x x x x x M L L 2 1 a 1a1 2a2 a a1 a2 a [ ] ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é = + + + = n n n n y y y y y y M L L 2 1 a 1b1 2b2 b b1 b2 b 可得[ ] [ ] T n T n x x L x T y y L y 1 2 = 1 2 或 ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é = ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é - n n x x x T y y y M M 2 1 2 1 1 称为坐标变换公式 4.1.10 施密特正交化方法 任给 V 中的一组基a a ar , , , 1 2 L ，可由施密特正交化过程构造出一组新的正交基 b b br , , , 1 2 L 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 1 , , , , , , - - - - = - - - = - = r r r r r r r r b b b b a b b b b a b a b b b b a b a b a L LL 4.1.11 标准正交基 PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn
(山定义：若V的一组基n,几，满足 a-Ru-2 则称1，n2,…,1,是V的一组标准（规范）正交基。 (2)求法：第一种：对V中的任一组基C1C2,…,C,可先由施密特正交化方法，得 到一组正交基B,B,,B,再把每个B单位化 n同8&=2…月 得到的几，2，…，门，即为V的标准正交基 [a, a= ≠0，a∈R" 第二种：对任一 ,可以扩充为R”的一组标准正交 基，设=k名…满足任，)=0即 ax+ax2+…+axn=0() 求得(*)的一个基础解系B,B,…,B1,从而a,B,B,…,B1必为R”的 一组基，再由第一种方法得到一组标准正交基 4.1.12正交矩阵 ()A为正交矩阵的定义是：A满足A4=A'A=I(或AI=A) (2)A为正交矩阵的充要条件是A的列（行）向量组为标准正交向量组 注由(2)可知，若，a,…,a是R的一组基，则将其标准正交化可得到一组标准 正交基，2，…，。，以它们为列作出矩阵 0=hn2…nn] 则Q必为正交阵。 ()正交阵的性质： 若A为正交阵，则=士出，且4,4，A均为正交阵 若B也为正交阵，则AB也是正交阵 4.1.13齐次线性方程组Ax=0的解空间(A为m×n矩阵) PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建w,fineprint,cn
(1) 定义：若 V 的一组基h h hr , , , 1 2 L 满足 (i j r) i j i j i j , 1,2, , 1 0 , = L î í ì = ¹ h h = 则称h h hr , , , 1 2 L 是 V 的一组标准（规范）正交基。 (2) 求法：第一种：对 V 中的任一组基a a ar , , , 1 2 L 可先由施密特正交化方法，得 到一组正交基 b b br , , , 1 2 L ，再把每个 bk 单位化 ( 1,2, , ) 1 k r k k t = b = L b h 得到的h h hr , , , 1 2 L 即为 V 的标准正交基 第二种：对任一 n n ¹ Î R ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é = a a a a a 0, 2 1 M ，可以扩充为 n R 的一组标准正交 基，设 [ ] T n x x x L x = 1 2 满足 x,a = 0即 0 (*) a1 x1 + a2 x2 +L+ an xn = 求得（*）的一个基础解系 1 2 1 , , , b b L bn- ，从而 1 2 1 , , , , a b b L bn- 必为 n R 的 一组基，再由第一种方法得到一组标准正交基 4.1.12 正交矩阵 (1) A 为正交矩阵的定义是：A 满足 AAT = A T A = I(或A T = A -1） (2) A 为正交矩阵的充要条件是 A 的列（行）向量组为标准正交向量组 注 由(2)可知，若a a an , , , 1 2 L 是 n R 的一组基，则将其标准正交化可得到一组标准 正交基h h hn , , , 1 2 L ，以它们为列作出矩阵 [ ] Q = h1 h2 L hn 则 Q 必为正交阵。 (3) 正交阵的性质： 若 A 为正交阵，则 1 * A 1, A , A , A T - = ± 且 均为正交阵 若 B 也为正交阵，则 AB 也是正交阵 4.1.13 齐次线性方程组 Ax=0 的解空间（A 为 m ´ n 矩阵） PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn
齐次线性方程组Ax=0若有非零解，则其全体解构成一个向量空间，称为Ax=O的解 (②)A-O的每一个基础解系所含向量个数mr(A)即为dinN(4是固定的 B)若已知，a…,a)是Ax=0的一个基础解系，则 N(A)=spana1a3…a-i (4)从而Ax-0的适解 其中，2，…，n-为任意常数 注由于基础解系不唯一，故通解形式不唯一。 4.2典型例题分析 1)向量a可由向量组B,B,…,B。线性表出的判定 方法：)用定义 (2)a可否由B,B,,B。线性表出等价于线性方程组 [B,B2…B上=u是否有解。 例1设 a=21y,B=11y,B=1-1-,B=-11-y B=-1-1,问a可否由B,B,B,B线性表出，若可以，请写出线性表 示式。 「x =+=BB:B.B. 解设 记x=k本，。x,,则向题转化为方程组B月，BB,小=a是否有解。 PDF文件使用”pdfFactory Pro”试用版本创建，fineprint..cn
齐次线性方程组 Ax=0 若有非零解，则其全体解构成一个向量空间，称为 Ax=0 的解 空间，记作 N（A） (1) Ax=0 的一个基础解系即为 N（A）的一组基，故基础解系不唯一。 (2) Ax=0 的每一个基础解系所含向量个数 n-r（A）即为dimN(A) 是固定的 (3) 若 已 知 1 2 ( ) , , , a a L an-r A 是 Ax=0 的一个 基 础 解 系 ， 则 ( ) 1 2 ( ) ( ) n r A N A = span a a L a - (4) 从而 Ax=0 的通解 1 1 2 2 n r( A) n r(A) x t t t = a + a +L+ - a - 其中 1 2 ( ) , , , n r A t t t L - 为任意常数 注 由于基础解系不唯一，故通解形式不唯一。 4.2 典型例题分析 1) 向量a 可由向量组 b b bm , , , 1 2 L 线性表出的判定 方法：(1)用定义 (2) a 可 否 由 b b bm , , , 1 2 L 线 性 表 出 等 价 于 线性方 程 组 [b1 b2 L bn ]x = a 是否有解。 例 1 设 [ ] [ ] [ ] [ ] T T T T 1 2 1 1 , 1 1 1 1 , 1 1 1 1 , 1 1 1 1 a = b1 = b2 = - - b3 = - - [ ] T 1 1 1 1 b4 = - - ，问a 可否由 1 2 3 4 b , b , b , b 线性表出，若可以，请写出线性表 示式。 解 设 [ ] ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é = + + + = 4 3 2 1 1 1 2 2 3 3 4 4 1 2 3 4 x x x x a x b x b x b x b b b b b 记 [ ] T x x x x x = 1 2 3 4 ，则问题转化为方程组[b1 b2 b3 b4 ]x = a 是否有解。 PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn
「1111：11「1111：17 BBgB,-1-1-12 00 -2 -2 :1 1-11-1:10-2 1-1-11:10-2 :0 1000: 「1001：1 0001-4 = 01004 00-11:0 0101:0 010 0001-4 可见a可由B,B,B,B,唯一线性表示，且 例2 a,=023,a2=135,a,=1-1a+2,a4=l24a+8 B=1b+35 ()ab为何值时，B不能表示成a,,,a的线性组合？ (2)ab为何值时，阝可由%，2，a,4唯一线性表出？ 解设B=1%+l%+lga+1,a4则 [6+42+43+44=1 J52-4+2,=1 211+312+(a+2)13+414=b+3 3+5+4+(a+8)14=5 其增广矩阵 「1111：11「1111：11 a01-121 01-12:1 23a+24:b+300a+10:b 351 a+8:5000a+1:0 当a=-l,b≠0时，r(A)=2,r(A)=3,可知方程组无解，即B不能表示成%1,42，C,a 的线性组合。 当a≠-l时，方程组有唯一解，故B可由1，，，4线性表出，且表达式唯一，表 PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建w,fineprint,cn
[ ] ú ú ú ú ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ê ê ê ê ë é - - ú ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ê ë é - - = ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é - - - - - - ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é - - - - - - = 4 1 0 0 0 1 4 1 0 0 1 0 4 1 0 1 0 0 4 5 1 0 0 0 ~ 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 4 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 2 2 0 0 0 2 0 2 0 0 0 2 2 1 1 1 1 1 1 ~ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 3 4 M M M M M M M M M M M M M M M M b b b b Ma 可见a 可由 1 2 3 4 b , b , b , b 唯一线性表示，且 1 2 3 4 4 1 4 1 4 1 4 5 a = b + b - b - b 例 2 [ ] [ ] [ ] [ ] T T T T 1 0 2 3 , 1 1 3 5 , 1 1 a 2 1 , 1 2 4 a 8 a1 = a2 = a3 = - + a4 = + [ ] T b = 1 1 b + 3 5 (1) a,b 为何值时， b 不能表示成 1 2 3 4 a ,a ,a ,a 的线性组合？ (2) a,b 为何值时， b 可由 1 2 3 4 a ,a ,a ,a 唯一线性表出？ 解设 b 1a1 2a2 3a3 4a4 = t + t + t + t 则 ï ï î ï ï í ì + + + + = + + + + = + - + = + + + = 3 5 ( 8) 5 2 3 ( 2) 4 3 2 1 1 1 2 3 4 1 2 3 4 2 3 4 1 2 3 4 t t t a t t t a t t b t t t t t t t 其增广矩阵 ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é + + - ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é + + + - = 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 2 1 1 1 1 1 1 ~ 3 5 1 8 5 2 3 2 4 3 0 1 1 2 1 1 1 1 1 1 ~ M M M M M M M M a a b a a b A 当a = -1, b ¹ 0 时，（r A）=2，（r A ~ ）=3，可知方程组无解，即 b 不能表示成 1 2 3 4 a ,a ,a ,a 的线性组合。 当a ¹ -1时，方程组有唯一解，故 b 可由 1 2 3 4 a ,a ,a ,a 线性表出，且表达式唯一，表 PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn
达式为 B=、26 a+1 +2%+4+0a +1 2)线性相关性的判定 常用方法：()从定义出发： (2)利用矩阵秩或行列式： (3)利用性质。 「11 「11 -1 1 0 a1= 2 a,-0a-8 例3已知 2 Lk」线性相关，求k 解解法一（利用矩阵的秩） 11-1「11 -1 4=a&a,l}0-4 0-1-3 20-800k-2 12k00 0 由1，C2,C3线性相关可知必有r(A)<3,故k-2 解法二（利用行列式及性质） 将1,a,a的第三个分量去掉，地向量组 B=01,B=02,B=1-4,则 11-111-1 B,B,B=10-4=10-4= 1-4 12k-10k+2 1k+2 =2-k 由于a1,a2,a3线性相关，所以B,P2,B线性相关 故，B,B|=0,即k=2 例4设4,4,0.(m≤川)是m个互不相等且不为零的常数，向量 a,=4,a,,a0=1,2,,m),问a,a,…am是否线性相关 解由于m≤m.a,≠a,≠jJ=l2,,m)且a,≠01=l2…,m）,故 2从而B=4,a,…,a,B2=4,a,…,a…,fn=口ma…,a线性无 关，所以向量组4，凸，…，0m亦线性无关。 例5设向量组4,0…，a(m>)线性无关，且B=a1+凸，+…+a,判断向量 PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建，fineprint.cn
达式为 1 2 3 0 4 1 1 1 1 2 b a a a + ×a + + + + + + + = - a b a a b a b 2) 线性相关性的判定 常用方法：(1)从定义出发； (2)利用矩阵秩或行列式； (3)利用性质。 例 3 已知 ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é - - - = ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é = ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é = k 8 4 1 2 0 0 1 1 2 1 1 a1 a2 a3 线性相关，求 k 解 解法一（利用矩阵的秩） [ ] ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é - - - - ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é - - - = = 0 0 0 0 0 2 0 1 3 1 1 1 ~ 1 2 2 0 8 1 0 4 1 1 1 1 2 3 k k A a a a 由 1 2 3 a ,a ,a 线性相关可知必有 r（A）<3，故 k=2 解法二（利用行列式及性质） 将 1 2 3 a ,a ,a 的第三个分量去掉，地向量组 [ ] [ ] [ ] T T T 1 1 1 , 1 0 2 , 1 4 k b1 = b2 = b3 = - - ，则 k k k k = - - + - = - - + - - - = - = 2 1 2 1 4 1 0 2 1 0 4 1 1 1 1 2 1 0 4 1 1 1 , , b1 b2 b3 由于 1 2 3 a ,a ,a 线性相关，所以 1 2 3 b , b , b 线性相关 故 b1 , b2 , b3 = 0,即k = 2 例4 设 , , , ( ) 1 2 a a a m n L m £ 是 m 个互不相等且不为零的常数，向量 [ , , , ] ( 1,2, , ) 2 a a a i m T n ai = i i L i = L ，问a a am , , , 1 2 L 是否线性相关？ 解 由于m n, a a (i j,i, j 1,2, ,m) a 0(i 1,2, ,m) £ i ¹ j ¹ = L 且 i ¹ = L ，故 2 从而 [ ] [ ] [ ] T n m m m m T n T n a , a , , a , a , a , , a , , a , a , , a 2 2 2 1 2 2 2 2 b1 = 1 1 L b = L K b = L 线性无 关，所以向量组a a am , , , 1 2 L 亦线性无关。 例5 设向量组 , , , ( 1) a1 a2 L am m > 线性无关，且 b = a1 +a2 +L+am ，判断向量 PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn