第3章线性代数方程组 3.1基本内容 3.11矩阵铁的定义 定义1矩阵A的k阶子式 在m×n矩阵A中任取k行，k列1≤k≤min(m,n),位于这k行，k列交叉点处的元 素按原来次序组成的行列式，称为A的一个k阶子式。 定义2矩阵A的秩 设在矩阵A中有一个不等于零的r阶子式D,且所有的r十1阶子式（如果有的话）全等 于零，那么D称为矩阵A的最高阶非零子式，数r称为矩阵A的秩，记为rank(4),简 记为r(4). 定义3满秩阵 设A为n阶方阵，若(A)=A,则称A为满秩阵。 3.12矩阵秩的性质 (I)4)=r4 (2)(24)=r(4)其中2≠0： (3)(4)=0等价于A=0: (4)r(4n)smin(m,n小： (5)设A,B为同阶矩阵，则 r(A+B)sr(A)+r(B) (I)设A为m×n矩阵，B为n×s矩阵，则 r(AB)≤min(r(Ar(B) rAB)≥rA+rB-n 特别当AB=0时，(A)+(B)n成立。 6 =r(d)+r(B) o6可sw回 PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建w,fineprint,cn
第 3 章 线性代数方程组 3.1 基本内容 3.1.1 矩阵秩的定义 定义 1 矩阵 A 的 k 阶子式 在 m´ n 矩阵 A 中任取 k 行，k 列(1 £ k £ min(m, n))，位于这 k 行，k 列交叉点处的元 素按原来次序组成的行列式，称为 A 的一个 k 阶子式。 定义 2 矩阵 A 的秩 设在矩阵 A 中有一个不等于零的 r 阶子式 D，且所有的 r＋1 阶子式（如果有的话）全等 于零，那么 D 称为矩阵 A 的最高阶非零子式，数 r 称为矩阵 A 的秩，记为rank(A) ，简 记为 r(A)。 定义 3 满秩阵 设 A 为 n 阶方阵，若 r(A)＝A，则称 A 为满秩阵。 3.1.2 矩阵秩的性质 （1） r(A ) r(A); T = （2） r(lA) = r(A),其中l ¹ 0 ； （3） r(A) = 0 等价于 A = 0； (4)r(A ) (m n) m n £ min , ´ ； （5）设 A，B 为同阶矩阵，则 r(A + B) £ r(A)+ r(B) （1） 设 A 为 m´ n 矩阵，B 为 n ´ s 矩阵，则 ( ) ( ( ) ( )) r(AB) r( ) A r( ) B n r AB r A r B ³ + - £ min , 特别当 AB＝0 时， r(A)+ r(B) £ n成立。 （7） ( ) ( ) ( ) ( ) r( ) A r( ) B D B A r r A r B B A C r r A r B B A r ³ + ú û ù ê ë é ³ + ú û ù ê ë é = + ú û ù ê ë é 0 0 0 0 PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn
3.1.3矩阵秩的有关结论 (1)初等变换不改变矩阵的秩，即 若A∽B,则(A)=r(B) (2)矩阵乘上一个可逆阵不改变原矩阵的秩，即当A可逆时，有 r(AB)=r(B):r(BA)=r(B) (3)设A为n阶方阵，则其转置伴随阵的秩为 n r(4)=n r(4)=1(4)=n-1 0r(40sn-2 (4)设A为方阵，则|A≠0一r(A)=n。 3.1.4矩阵秩的求法 (1)用定义求矩阵的秩。 (2)用初等变换法求矩阵的秩。 (3)用性质求佰阵的秩。 (4)用有关结论求矩阵的秩 (⑤)用齐次线性方称组的基础解系讨论矩阵的秩 3.1.5系数矩阵可逆的线性代数方程组的求解 问题：求Ax=b的解，其中A≠0。 方法(1)克莱娒法则 怎=2小，其中D为右端列6取代A的第i列所构成的行列式 方法(2)逆矩阵法 =b,其中A=4 或用4)行0Ar快 方法(3)G法 将增广矩阵(Ab)经过行初等变换化为行梯形阵，回代求解。 方法(3)G-J法 将增广矩阵(4：b)经过行初等变换化为行标准形后得解。 3.1.6齐次线性方程组Ammx=0 (1)齐次线性方程组有解的条件 x=0为A=0的平凡解 当r(4)=n时，Ar=0只有零解。 (4)<n时，Ax=0有含n-r(4)个参数的无穷多组解。 PDF文件使用"pdfFactory Pro'”试用版本创建，fineprint.cn
3.1.3 矩阵秩的有关结论 （1）初等变换不改变矩阵的秩，即 若 A∽B,则 r(A) = r(B) （2）矩阵乘上一个可逆阵不改变原矩阵的秩，即当 A 可逆时，有 r(AB) = r(B)； r(BA) = r(B) (3) 设 A 为 n 阶方阵，则其转置伴随阵的秩为 ( ) ( ) ( ) ( ) ï î ï í ì £ - = - = = 0 2 1 1 * r A n r A n n r A n r A (4)设 A 为方阵，则 A ¹ 0 Û r(A) = n 。 3.1.4 矩阵秩的求法 （1）用定义求矩阵的秩。 （2）用初等变换法求矩阵的秩。 （3）用性质求矩阵的秩。 （4）用有关结论求矩阵的秩。 （5）用齐次线性方称组的基础解系讨论矩阵的秩。 3.1.5 系数矩阵可逆的线性代数方程组的求解 问题：求 Ax = b 的解，其中 A ¹ 0 。 方法（1） 克莱娒法则 (i n) A D x i i = = 1,2,L ，其中 Di 为右端列b 取代 A 的第i 列所构成的行列式。 方法（2）逆矩阵法 x A b -1 -1 = ，其中 A A A * 1 = - 或用( ) ( ) ¾¾® -1 AMI 行 IMA 求 -1 A 。 方法（3） G 法 将增广矩阵(AMb)经过行初等变换化为行梯形阵，回代求解。 方法（3）G－J 法 将增广矩阵(AMb)经过行初等变换化为行标准形后得解。 3.1.6 齐次线性方程组 = 0 ´ A x m n （1）齐次线性方程组有解的条件 x = 0为 Ax = 0的平凡解。 当 r(A) = n时， Ax = 0只有零解。 r(A) p n 时， Ax = 0有含 n - r(A)个参数的无穷多组解。 PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn
注Ar=0有非零解一r(A)<n。 (2)齐次线性方程组解的求法 将系数矩阵经过行初等变换化为行标准形矩阵后求解。 (3)解的性质 51,52,…5为A=0的解，则151+1252+…+15：仍为A=0的解，其中41,42，…4 为任章常数 (④)基础解系 设5,52，…5&为r=0的解，满足1)5,52,5.线性无关：2)任一红=0的解5 均可由51,52，…5线性表出，则称51,52，…54为Ax=0的一个基础解系。 注Ax=0的基础解系不唯一，但基础解系中向量个数k必为n-r(4)。 (5)齐次方程的通解 若5,52,54为Ar=0的一个基础解系，则Ar=0的通解为 x=151+1252+…+1,5,41,2,4∈R 3.1.7非齐次线性方程组 非齐次线性方程组Anx=b(任0) (1)非齐次线性方程组有解的条件 当r(4b)=r(A)=n时，方程组有唯一解。 当(4)<n时，方程组有含n-(d)个参数的无穷多组解。 当(4b)≠r(A)时，方程组无解。 (2)非齐次线性方程组解的求法 将增广矩阵(4b)经过行初等变换化为行标准形矩阵后求解。 (3)解的性质 若5,52为Ar=b的解，则5，-52为其导出方程组A=0的解。 注与十5为红=b的一个解，面5，+5，不再是：=b的解 (4)非齐次线性方程组的通解 若若5,52，…5.为Ax=0的一个基础解系，5为红=b的一个解，则红=b的通解为 x=151+1252+…+15k+5,41,2,…4k∈R PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建，fineprint,cn
注 Ax = 0有非零解Û r(A) p n 。 （2）齐次线性方程组解的求法 将系数矩阵经过行初等变换化为行标准形矩阵后求解。 （3）解的性质 k x ,x ,Lx 1 2 为 Ax = 0的解，则 k k t x + t x +L+ t x 1 1 2 2 仍为 Ax = 0的解，其中 k t ,t ,Lt 1 2 为任意常数。 (4)基础解系 设 k x ,x ,Lx 1 2 为 Ax = 0的解，满足 1） k x ,x ,Lx 1 2 线性无关；2）任一 Ax = 0的解x 均可由 k x ,x ,Lx 1 2 线性表出，则称 k x ,x ,Lx 1 2 为 Ax = 0的一个基础解系。 注 Ax = 0的基础解系不唯一，但基础解系中向量个数 k 必为 n - r(A)。 （5）齐次方程的通解 若 k x ,x ,Lx 1 2 为 Ax = 0的一个基础解系，则 Ax = 0的通解为 x = t 1 x1 + t 2 x 2 +L+ t k xk , t 1 ,t 2 ,Lt k Î R 3.1.7 非齐次线性方程组 非齐次线性方程组 = (¹ 0) ´ A x b m n （1） 非齐次线性方程组有解的条件 当 r(AMb) = r(A) = n 时，方程组有唯一解。 当 r(A) p n 时，方程组有含 n - r(A)个参数的无穷多组解。 当 r(AMb) ¹ r(A)时，方程组无解。 （2） 非齐次线性方程组解的求法 将增广矩阵(AMb)经过行初等变换化为行标准形矩阵后求解。 （3） 解的性质 若 1 2 x ,x 为 Ax = b 的解，则 1 2 x - x 为其导出方程组 Ax = 0的解。 注 2 1 2 x + x 为 Ax = b 的一个解，而 1 2 x + x 不再是 Ax = b 的解。 （4）非齐次线性方程组的通解 若若 k x ,x ,Lx 1 2 为 Ax = 0的一个基础解系，x 为 Ax = b 的一个解，则 Ax = b 的通解为 x = t 1 x1 + t 2 x 2 +L+ t k xk + x, t 1 ,t 2 ,Lt k Î R PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn
(5)解的结构 非齐次线性方程组的通解x。等于对应的齐次线性方程组的通解x。,加上非齐次线性方程组 的一个特解x。,即 Xg=Xh+Xp 3.2典型例题分析 1)用定义求矩阵的秩 [1234] 例1求矩阵A=2468的秩 3607 解因为A的第1、第2行对应成比例，故A的任意三解子式必为零，即(A)≤2，而子式 B7-50,知（创22，综上所述=2. 14 …abn 例2设A= a2ba2b2…a2bn ,求A的秩 La,b a,b2…anbn」 解因为 「a,bab …a,bn1 「a a,ba,b3·a,b A= [b,b,…,b] ab ab2…anbn 知A的任二行对应成比例，即所有2阶子式全为零，得r(4)s1,当a,a2,,an全为零或 b,b,,b全为零时，(A)=0,否则r(d)=1。而 「a1 [a1 A2= 6,,b.06,,b.1=(2a61 a. a. PDF文件使用”pdfFactory Pro”试用版本创建w,fineprint.cn
（5）解的结构 非齐次线性方程组的通解 g x 等于对应的齐次线性方程组的通解 h x ，加上非齐次线性方程组 的一个特解 p x ，即 g h p x = x + x 3.2 典型例题分析 1）用定义求矩阵的秩 例 1 求矩阵 ú ú ú û ù ê ê ê ë é = 3 6 0 7 2 4 6 8 1 2 3 4 A 的秩。 解 因为 A 的第 1、第 2 行对应成比例，故 A 的任意三解子式必为零，即 r(A) £ 2 ，而子式 5 0, 3 7 1 4 = - ¹ 知 r(A) ³ 2 ，综上所述 r(A) = 2。 例 2 设 ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é = n n n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b a b A L M M M L L 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 ，求 2 A 的秩。 解 因为 [ ] n n n n n n n n b b b a a a a b a b a b a b a b a b a b a b a b A , , , 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 L M L M M M L L ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é = ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é = 知 A 的任二行对应成比例，即所有 2 阶子式全为零，得 r(A) £ 1，当 n a , a , ,a 1 2 L 全为零或 n b ,b , ,b 1 2 L 全为零时， r(A) = 0 ，否则 r(A) = 1。而 [ ] [b b b ] a b A a a a b b b a a a A n i n i i n n n å= = ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é = 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 , , , , ,L, ( ) M L M 故 PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn
0 a,b=0 r4)= ∑a,b≠0 2)用初等变换法求矩阵的秩 「11-2301 1 例3求矩阵A= 2 -64-的肤。 32a7-1 1-1-6-1b 解将A化为行阶梯阵，即 「11-2301「11-2307 「11-2 30 21-64-1 -2-1 -1 -2 -2 -1 A= 32a7-1 0 0a+80 0 1-1-6-1b」0-2-4-4b] 0 0 0b+2 当a=-8且b=-2,(4)=2, 当a≠-8且b=-2,(A)=3: 当a=-8且b≠-2，r(A)=3 当a≠-8且b≠-2，r(A)=4 例1讨论n阶方阵A的秩 [ab…b] 4=30…b :… bb...a 解将A化为行阶梯矩阵，即 「ab…b1 「an-10bb…b1 A= ba…b ::… bb…abn-10bb…a [a+(n-1)bb …b1 a-b… a-b 当a≠b且a+(n-1)b=时，④= PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建w,fineprint,cn
( ) ï ï î ï ï í ì ¹ = = å å = = n i i i n i i i a b a b r A 1 2 1 1 0 0 0 2）用初等变换法求矩阵的秩 例 3 求矩阵 ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é - - - - - - - = b a A 1 1 6 1 3 2 7 1 2 1 6 4 1 1 1 2 3 0 的秩。 解 将 A 化为行阶梯阵，即 ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é + + - - - - - ® ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é - - - - + - - - - - - - ® ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é - - - - - - - = 0 0 0 0 2 0 0 8 0 0 0 1 2 2 1 1 1 2 3 0 0 2 4 4 0 1 6 2 1 0 1 2 2 1 1 1 2 3 0 1 1 6 1 3 2 7 1 2 1 6 4 1 1 1 2 3 0 b a b a b a A 当 a = -8且b = -2,r(A) = 2; 当 a ¹ -8且b = -2,r(A) = 3; 当 a = -8且b ¹ -2,r(A) = 3; 当 a ¹ -8且b ¹ -2,r(A) = 4; 例1 讨论 n 阶方阵 A 的秩 ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é = b b a b a b a b b A L M M L L L 解 将 A 化为行阶梯矩阵，即 ( ) ( ) ( ) ( ) ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é - - + - ® ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é - - - ® ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é = a b a b a n b b b b n b b a b n b a b a n b b b b b a b a b a b b A O L L L M M L L L L M M L L L 1 1 1 1 当a ¹b且a+(n-1)b＝时，r(A) =n; PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn