性质1行列式与它的转置行列式相等 证： 当n=2时， 011412 121 ,结论成立 21022 12L22 假设对n-1阶行列式结论成立.对n阶行列式D和D', 分别按第一行和第一列展开，得 0-2M, 21 02j-1 L2j+1 ，2n -2a,-1 An\ L-1 Anj+1 Ann
性质1 行列式与它的转置行列式相等. 证： 11 12 11 21 21 22 12 22 a a a a a a a a 当n=2时， = ，结论成立. 1 1 1 21 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 ( 1) . . ( 1) . . . . . . . . n j j ij j j j n n j j j n nj nj nn D a M a a a a a a a a a + = − + + = − + = − = − 假设对n-1阶行列式结论成立.对n阶行列式D和 ， 分别按第一行和第一列展开，得 D
a21 . a . . . D-24-g-2a,-m 2j-1 . 0j-1 . -1 . Qj+1 Anj+1 . 2m 由于Mn和M是n-1阶行列式，且M是M,的转置 行列式，根据假设M,=M,于是D=D' 说明行列式中行与列具有同等的地位，因此行列式 的性质凡是对行成立的对列也同样成立
21 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 . . . . . . . . . ( 1) ( 1) . . . . . . . . . i n n n j ij nj j j j ij j j j j ij nj n in nn a a a a a a D a M a a a a a a a − − − + + = = + + + = − = − Mij Mij Mij M M ij ij = Mij 由于 和 是n-1阶行列式，且 是 的转置 行列式，根据假设 ，于是 D D = 说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式 的性质凡是对行成立的对列也同样成立
性质2互换行列式的两行（列），行列式变号： 证：用数学归纳法， 当n=2时，42 02122 结论成立 02122 011012 假设对n-1阶行列式结论成立.对n阶行列式D 1 12 .ee .ee i 12 D- . asi as2 asn .ee an an2
证： 用数学归纳法. 11 12 21 22 21 22 11 12 a a a a a a a a 当n=2时， = − ，结论成立. 假设对n-1阶行列式结论成立.对n阶行列式D 性质2 互换行列式的两行(列),行列式变号. 11 12 1 1 2 ln 1 2 1 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . n l l s s sn n n nn a a a a a a D a a a a a a =
互换D中的第s行和第行，得 12 as1 as2 D1= . a L12 an 0n2
互换D中的第s行和第l行，得 11 12 1 1 2 1 1 2 ln 1 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . n s s sn l l n n nn a a a a a a D a a a a a a =