如图96所示。在S平截面上任取一动点M。为求动点M的速度矢量v,建立如图 9-6所示固定坐标架{0;i};固连坐标架{A;e,e2};平动坐标架{A;ij}。三个坐标架的 另一个正交单位基矢量为k(图9-6中为垂直低平面指向外)。其矢量e、e2与i、j满足。 Je,=cos pi+sinp j e, =-sin i+ cospJ 动点M相对固定坐架标的速度矢量(绝对速度矢量)为 se+ne 由于5、m是位置矢量r在固 连坐标架{4;e,e2}中的坐标。在 S平截面运动过程中5、η保持不 变。但e、e2两个基矢量在S平截 面运动过程中虽然大小不变,而其 方向时间变化。因此: (r4+5e1+ne2) 图9-6 -4+5(cos o i+sinj)+n(sin o i+ cos j) dt =r+S(sin o i+cos( j+n-cos o i+sin o j)o (e2-e) k xr=k×e1+ne2) =(e2-e1)9
6 如图 9-6 所示。在 S 平截面上任取一动点 M。为求动点 M 的速度矢量 Mv ，建立如图 9-6 所示固定坐标架{0；i, j}；固连坐标架{A；e1, e2}；平动坐标架{A；i, j}。三个坐标架的 另一个正交单位基矢量为 k（图 9-6 中为垂直低平面指向外）。其矢量 e1、e2 与 i、j 满足。 ⎩ ⎨ ⎧ = − + = + e i j e i j sin cos cos sin 2 1 ϕ ϕ ϕ ϕ 动点 M 相对固定坐架标的速度矢量（绝对速度矢量）为： (r r) r v = = A + M M dt d dt d ( ) 1 2 = r + ξ e +η e A dt d 由于ξ 、η 是位置矢量 r 在固 连坐标架{A；e1, e2}中的坐标。在 S 平截面运动过程中ξ 、η 保持不 变。但 e1、e2两个基矢量在 S 平截 面运动过程中虽然大小不变，而其 方向时间变化。因此： ( ) 1 2 v = r + ξ e +η e M A dt d dt d dt d dt d A 1 2 r e e = + ξ +η 图 9-6 (cos i sin j) ( sin i cos j) r = + ξ ϕ + ϕ +η − ϕ + ϕ dt d dt d dt d A = r + ξ (−sinϕ i + cosϕ j)ϕ +η(−cosϕ i + sinϕ j)ϕ A ( ) ϕ A 2 1 = r + ξ e − η e ∵ ω = ϕ k ( ) 1 2 ω× r = ϕ k × ξ e +η e (ξ η ) ϕ 2 1 = e − e j i O η ξ rM ψ rA r M i j e1 e2 A S
WM=VA+oxr=v+VM (9-2) 该式中v4为基点A相对固定坐标架{0;ij的速度矢量。同时v4也是平动坐标架{A;i,j 的速度矢量。对动点M而言O×r是动点M相对平动坐标架{A;i,j的相对速度矢量。因 此(9-2)式在固定坐标架{o;i、固连坐标架{;e,e}、平动坐标架的框架下表明:动 点M在随S平截面作刚体平面运动的任意时刻,其速度矢量νM等于基点A相对固定坐标 架{0;,丹的基点速度矢量v4与动点M相对平动坐标架{;,的相对转动速度矢量v的 矢量和。且对作刚体平面运动刚体的上点,利用(9-2)式确定该点速度矢量的方法称为基 点法(或称为合成法)。 由(9-2)式可以看出,S平截面 动点M的速度矢量v与基点A的选 取有关。对S平截面而言,其上各点 的速度矢量是相同的。因此选取S平 截面上的不同点为基点时,基点的速 度矢量将不相同。即S平截面随基点 的平动速度矢量与基点的选取有关 但S平截面相对平动坐标架{;i,j 的角速度矢量O与基点的选取无关 如图9-7所示,S平截面上动点M。针 对动点M取二组坐标架: {0;ij}、{A;e,e2}、{A;i,j {0;i、{A;E1,e2}、{A;i,j 分别对应基点A和基点A。 对第一组坐标架,以M、A为动点则 图9-7 =vA+0×F (a) V=v4+O×r (b 对第二组坐标架,以M为动点。则 将(a)、(b)式代入(c)式得:
7 ∴ M A A MA v = v + ω× r = v + v （9-2） 该式中 A v 为基点 A 相对固定坐标架{0；i, j}的速度矢量。同时 A v 也是平动坐标架{A；i, j} 的速度矢量。对动点 M 而言ω× r 是动点 M 相对平动坐标架{A；i, j}的相对速度矢量。因 此（9-2）式在固定坐标架{o；i, j}、固连坐标架{A；e1, e2}、平动坐标架的框架下表明：动 点 M 在随 S 平截面作刚体平面运动的任意时刻，其速度矢量 Mv 等于基点 A 相对固定坐标 架{0；i, j}的基点速度矢量 A v 与动点 M 相对平动坐标架{A；i, j}的相对转动速度矢量 MA v 的 矢量和。且对作刚体平面运动刚体的上点，利用（9-2）式确定该点速度矢量的方法称为基 点法（或称为合成法）。 由（9-2）式可以看出，S 平截面 动点 M 的速度矢量 Mv 与基点 A 的选 取有关。对 S 平截面而言，其上各点 的速度矢量是相同的。因此选取 S 平 截面上的不同点为基点时，基点的速 度矢量将不相同。即 S 平截面随基点 的平动速度矢量与基点的选取有关。 但 S 平截面相对平动坐标架{A；i, j} 的角速度矢量 ω 与基点的选取无关。 如图 9-7 所示，S 平截面上动点 M。针 对动点 M 取二组坐标架： {0；i, j}、{A；e1, e2}、{A；i, j} {0；i, j}、{ ; , } 1 2 A e e 、{A;i, j} 分别对应基点 A 和基点 A 。 对第一组坐标架，以 M、 A 为动点则 图 9-7 v = v + ω× r M A （a） v = v + ω× r′ A A （b） 对第二组坐标架，以 M 为动点。则 v = v + ω × r M A （c） 将（a）、（b）式代入（c）式得： i j ψ ψ rA rA A r r r' M e1 i e2 j j i e1 e2 A S
F=vA+0×r+ D×(r-r)=0×F XI=O 由于A选取的任意性,是任意选定的矢量。因此有 该式表明相对平动坐标架{A;Lj,S平截面转动的角速度矢量O与基点选取无关。同时 = a=0 即相对平动坐标架{A;i,j},S平截面转动的角加速度a也与基点选取无关。 例题9-1如图9-8所。半径为R的在水平面上作纯滚动运动圆轮。若轮心的速度矢量为M。 试求图示瞬时AB线上各点速度矢量(并画在图上)。 解 (a 图9-8 轮心作直线运动。其运动方程为: lol y R ra =9=、l (负号表示转动为顺时针) R 该式表明:圆轮(盘、柱)作纯滚动运动时,轮(盘、柱)心速度矢量的大小等于半径与 转动角速度矢量大小的乘积。 以M为动点,C为基点。则
8 v + ω× r = v + ω× r′ + ω × r A A ω× (r − r′) = ω × r ω× r′ = ω × r 由于 A 选取的任意性， r 是任意选定的矢量。因此有 ω = ω （d） 该式表明相对平动坐标架{A；i, j}，S 平截面转动的角速度矢量 ω 与基点选取无关。同时 由于： α = ω ； α = ω α = α 即相对平动坐标架{A；i, j}，S 平截面转动的角加速度 α 也与基点选取无关。 例题 9-1 如图 9-8 所。半径为 R 的在水平面上作纯滚动运动圆轮。若轮心的速度矢量为 u。 试求图示瞬时 AB 线上各点速度矢量（并画在图上）。 解： x C B M A u u B x C M A A D C B x j i -u 2u M u (a) (b) y i x j u D B A ψ=-130° e2 e1 C O 图 9-8 轮心作直线运动。其运动方程为： ⎩ ⎨ ⎧ = = y R x R c c ϕ x Rϕ | u |= c = − R u ω = ϕ = − ； （负号表示转动为顺时针） 该式表明：圆轮（盘、柱）作纯滚动运动时，轮（盘、柱）心速度矢量的大小等于半径与 转动角速度矢量大小的乘积。 以 M 为动点，C 为基点。则： v = v + ω× r M c
u I kx(rj R =uI+u-I 当r=R时 2 当r=0时 当r=-R时 其AB线上速度矢量分布如图98(b)所示。图9-8(b) 中还给出了圆轮平面运动时的(本例中为沿直线的纯滚 动)A、B两点连线上各点的刚体平动运动和刚体绕平动 坐标架的转动运动分解示意图。 例9-2:试证明平面运动刚体上S平截面上任意两点AB 的速度矢量νA、vB在A、B两点连线上的投影相等 如图9-9所示作矢量 图9-9 AB LAB I 选取A点为基点,B点为动点。则: +×AB 等式两边点乘l,得 l·vB=l…ν4+l·(oxl|ABD l·(o×lABD=o(l×b)AB=0 …vg=l.ν LVBLB=v] 该式也称为速度投影定理。 例9-3:如图9-10所示。椭圆规尺A端滑块以大小为νA的速度水平向右运动。若已知AB 杆长为l,AB杆与水平线的夹角为试B端滑块的速度矢量vB=?,AB杆的角速度O=?
9 i k (r j) R u u ⎟ × ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = + − i i R r = u + u 当 r = R 时； v u M = 2 ； 当 r = 0 时； v u M = ； 当 r = -R 时， = 0 Mv 。 其 AB 线上速度矢量分布如图 9-8（b）所示。图 9-8（b） 中还给出了圆轮平面运动时的（本例中为沿直线的纯滚 动）A、B 两点连线上各点的刚体平动运动和刚体绕平动 坐标架的转动运动分解示意图。 例 9-2：试证明平面运动刚体上 S 平截面上任意两点 AB 的速度矢量 A v 、 B v 在 A、B 两点连线上的投影相等。 证： 如图 9-9 所示作矢量： 图 9-9 | AB | AB l = 选取 A 点为基点，B 点为动点。则： v B = v a + ω× AB 等式两边点乘 l，得： l v l v l (ω l | AB |) ⋅ B = ⋅ A + ⋅ × ∵ l ⋅(ω× l | AB |) = ω⋅(l × l )| AB |= 0 ∴ B A l ⋅ v = l ⋅ v 或 B AB A AB [v ] = [v ] 该式也称为速度投影定理。 例 9-3：如图 9-10 所示。椭圆规尺 A 端滑块以大小为| A v |的速度水平向右运动。若已知 AB 杆长为 l，AB 杆与水平线的夹角为ϕ 。试 B 端滑块的速度矢量 = ? B v ，AB 杆的角速度ω = ? S vA vB B A
解 基点法:取A为基点,B为动点。则由: vB=v4+0×r 在B点处画出速度分析图。如图9-10所示。建 立局部坐标系B57。 VB=O×r (VBA) 0=0l vB=oI sin(I-o =vA CIg sin D vg方向向上,大小为vB=vcgq。 图9-10 、投影法 v,COS=v8 cos/z vcIgs 通过本例可以看出:当已知S平截面上一点速度大小和方向,并已知另一点速度矢量 线的方位时,直接应用投影法很容易求S平截面上一点的速度矢量的大小。但投影法的投 影式(9-3)不能直接用来求解S平截面转动的角速度O
10 解： 一、基点法：取 A 为基点，B 为动点。则由： v = v + ω× r B A 在 B 点处画出速度分析图。如图 9-10 所示。建 立局部坐标系 Bξη 。 ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + = + Bη BA η Aξ Bξ BA ξ Aξ v (v ) v v (v ) v ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − ⎟ − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − ϕ π ω ϕ π ω 2 2 v l sin 0 l cos v B A ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = = = ϕ ϕ ϕ ϕ ω v ctg sin v cos v l sin v A A B A B v 方向向上，大小为vB = vActgϕ 。 图 9-10 二、投影法 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = −ϕ π ϕ 2 v cos v cos A B vB = vActgϕ 通过本例可以看出：当已知 S 平截面上一点速度大小和方向，并已知另一点速度矢量 线的方位时，直接应用投影法很容易求 S 平截面上一点的速度矢量的大小。但投影法的投 影式（9-3）不能直接用来求解 S 平截面转动的角速度ω 。 vBA=ω×r ψ ξ η B vA ω ψ vA A