第五章,向量几何和向量代数 B [图5-4 面积的勾股定理 设OA,OB,OC正交于O,它共交于O点的三个三角形△OAB △OBC,△OCA互相垂直,而△ABC则是和其他三个面斜交者。是否 也有类似于勾股定理的公式说明上述正交四面体的四个面积之问的关 系呢?例如斜面面积的平方是否恒等于其他三个面的面积平方之和呢 ?这就是我们接著所要论证者 【定理5.3】:(面积的勾股定理)一个正交四面体的斜面面积的平方 恒等于其他三个面的面积平方之和’亦即如[图5-4所示 (△ABC)2=(△OAB)2+(△OBC)2+(△OC4)2 证明:令正交四面体的三个正交于O点的棱长分别是C1,C2,C3,则 由勾股定理即得其斜面△ABC的三边边长分别是 02+23,b=ve+3, c=vei+02 易见其三个互相正交的三角形的面积分别为 △OAB=-1(2,△OBC==23,△OCA==(31 基础几何学之
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5.2.位移向量的运算律 再者’由平面几何中的秦九韶公式,其斜面面积平方是 (△ABC 16{2a22+bc+ca)-(a+b+c} (2+)(G+(3)+(+(3)(+2)+(G+2)(+) +(P+(+32+(6+(门} {4B2+42+42e} △OAB)2+(△OBC)2+(△OCA)2 在坐标几何中,勾股定理的重要推论是下述距离公式 1|=(2-x1)2+(m2-y)2+(2-2)2 其几何意义是:空同中直线段PP2的长度平方等于它在三个互相垂直 的直线上的各别垂直投影的长度平方之和。再者,设向量a和b在三 个坐标轴上的垂直投影的有向长度分别是(a1,02,a3)和(b1,b2,b3),则有 内积坐标计算公式 a·b=a1b1+a2b2+a3b 当a=b时,即有 a|2=a·a=a2+a2+a3 由此可见上述内积公式实乃距离公式的推广。 [定理5.3]的几何意义是:空间中一片平面的面积平方等于它在三个 互相垂直的平面(例如一个正交坐标系的三个坐标面)上的垂直投影的 面积平方之和。由此可以猜想到·我们也应该试著将面积的勾股定理 的本质进一步转化为在空间中一片平面和另一片平面之间的「内积」 的适当定义 假如我们把一个有向线段想成一种有向的1-维基本几何事物,定向 平行四边形∥(a,b)想成一种有向的2-维基本几何事物,就自然会想到 是否也可以定义一种∥(ab)和∥(c,d)之间的「内积」使得 ∥(ab):∥(a,b)=∥(ab)的面积平方 基础几何学之二
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第五章,向量几何和向量代数 而且∥(a,b)和∥(c,d)的「内积」也可以有类似于上述的坐标计算公 式 让我们先来看看1-维的情形。设AB和CD共线’则两者的内积就 等于它们的有向长度的乘积,即 AB CD 若两者同向 AB|·cb|若两者异向 若AB和CD不共线’令D是C戊在AB上的垂直投影, 1B.CD=AB和CD的有向长度之乘积。 现在让我们试著对于∥(a,b)和∥(c,d)的内积作类同的定义如下, (i)当∥(a,b)和∥(c,d)共面时’定义其内积为两者的定向面积的乘 i)当∥(a,b)和∥c,d)不共面时,则定义其内积为∥(a,b)和∥(c,d") 的定向面积的乘积,其中∥(c,d)乃是∥(c,d)在∥(a,b)所在平 面上的垂直投影 且以符号<∥(a,b),∥(c,d)>表示上面所定义的量 【定理5.4】 <∥(a,b),∥(c,d)> a d b. d 证明:(i)设∥(a,b)和∥(c,d)共在一个平面Ⅱ之内。在Ⅱ上取定 组向量{e1,e2},|el=le2|=1,∠e1,e2) b,c·e;=G,d·e;=d,i=1,2’则由上述定义和行列式乘法公式即有 <∥(a.b),∥/c,d)> aIC1+a2C? bcI+b2 C2 adi+aad bd+ bod 基础几何学之二
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5.2.位移向量的运算律 i)设∥(a,b)和∥(c,d)不共面,而∥(c,d")则是//c,d)垂直投影 到∥(a,b)的所在平面Ⅱ的影象’由定义和上述所已证者,即有 ∥(a.b),∥(c,d)>=<∥(a,b),//c,d)> ac bc 再者,c-c和d-d'乃是垂直于Ⅱ的向量’而a,b则是位于Ⅱ之内 者,所以 b (d-d)=0,b:(d-d)=0 亦即 b·c=b·c,a.d=a·d,b·d=b 即已证得 ∥(a,b),∥(c,d)> [定理5.4]的公式充分显示这种内积的2-维推广肯定就是我们所想要 者,例如 a /(a,b),∥(a,b)> a2.|bP-(al·blcs)2 (al|·| b sin0) ∥(a,b)的面积平方 再者’设e1;e2,e3分别是一个取定正交坐标系在x,y,z轴上的单位向量 令 a3e t C2e2 + c3e d= de+d2e2 基础几何学之
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第棱长别向由几得和向由边 难用易见为12验证基 学a,b),c,d b2 d 2 b3 ci di 学a,b),e,e2)>·学:-c,d),=e1,e2)> 学:a,b),e2,e3)>·学:c,d),三e2,e3)> 学:a,b) )>·学:c,d),=e3,el)> 向由的Ⅹ-积基 在一个已经定向的空间之中(通常约定以右手型为所选之正向), 我们可以用一个唯一的向由(axb)2充分表达空间中一个(定向)平 行四边形:ab)的方向和面积,如[图5-5]所示。它是一个和a,b皆 为正交’长度等于:a,b)的面积而(a,b,axb)是右手型者’称之为 ab的x-积 b 图5-5 由上述×-积的定义易见 a×b=-(b×a) 而且对于任给c 其实上式就是平行六面体的体积等于底面积乘高的向由表达式 【定理55】基向由的ⅹ-积满足下列运1律基 基础几得学之二
à❧á✕á â①ãåä➇æ✌ç☛è✌é❱ê✌ëÏç☛è✎ì❨í î❑ï❻ð✞ñ✆ò✞ó✸ô➇õ➇ö✞÷ùø ú✢û✥û✦ü✘ý✩þ✫ÿ✁❝þ❝û✥û✦ü✄✂✦þ✆☎✝✟✞ ✠☛✡✡ ✡ ✡ ☞✍✌✏✎✑✌ ☞✓✒✔✎✆✒ ✡ ✡ ✡ ✡ ✕ ✡ ✡ ✡ ✡ ✖✗✌✏✘✍✌ ✖✙✒✔✘✓✒ ✡ ✡ ✡ ✡ ✚ ✡ ✡ ✡ ✡ ☞✓✒✔✎✆✒ ☞✓✛✔✎✆✛ ✡ ✡ ✡ ✡ ✕ ✡ ✡ ✡ ✡ ✖✙✒✜✘✓✒ ✖✙✛✜✘✓✛ ✡ ✡ ✡ ✡ ✚ ✡ ✡ ✡ ✡ ☞✓✛✔✎✆✛ ☞✍✌✏✎✑✌ ✡ ✡ ✡ ✡ ✕ ✡ ✡ ✡ ✡ ✖✙✛✔✘✓✛ ✖✗✌✏✘✍✌ ✡ ✡ ✡ ✠ ú✢û✥û✦ü✘ý✩þ✫ÿ✁❝þ❝û✥û✦ü✣✢ ✡ ✌ þ✤✢✒ ✟✞ ✕ ú✢û✥û✦ü✄✂✦þ✆☎✥❝þ❝û✥û✦ü✣✢ ✌ þ✤✢✒ ✟✞ ✚ ú✢û✥û✦ü✘ý✩þ✫ÿ✁❝þ❝û✥û✦ü✣✢✒ þ✤✢✛ ✟✞ ✕ ú✢û✥û✦ü✄✂✦þ✆☎✥❝þ❝û✥û✦ü✣✢✒ þ✤✢✛ ✟✞ ✚ ú✢û✥û✦ü✘ý✩þ✫ÿ✁❝þ❝û✥û✦ü✣✢✛ þ✤✢ ✌ ✟✞ ✕ ú✢û✥û✦ü✄✂✦þ✆☎✥❝þ❝û✥û✦ü✣✢✛ þ✤✢ ✌ ✟✞ ç✆è✧✦✩★✥✪✬✫ ø ✭✯✮✔✰☛✱✳✲✔✴ ç✏✦✶✵✔✷✹✸✻✺✽✼✁✾✯✿❁❀ ✴❃❂✳❄✶❅❁❆❈❇✏❉❈❊ ✸✔❋◆ç❍●❏■ ❑▼▲✯◆ ❂ ð ✮✜✰✏❖P✮ ✦✌ç✆è ü✘ý ★ ÿ◗ õ✧❘✏❙❁❚✔❯ ✵✜✷P✺ ✮✜✰ ✼ ✴ ç☛●❲❱ ❳✶❨▼❩❭❬ û✥û✦ü✘ý✩þ✫ÿ◗ ✦❁❪✸çrë❴❫❵✫❛■❝❜❛❞✟❡✩❢✗✪✬❢❤❣ ❉✶✐❦❥♠❧✏♥✏✮❁✰ ë ý♣♦✦ÿ❈q ❇ ❋❃rs■✉t✇✈✯①P② û✥û✦ü✘ý✩þ✫ÿ◗ ✦✧❫③✫⑤④ ü✘ý✩þ✫ÿ✢þ✫ý ★ ÿ◗ ♥▼❄❃❅✜❆✔⑥ ■⑧⑦P✸ ❇ ý♣♦➩ÿ ✦P★✥✪✬✫ ❥ ý ÿ ý ★ ÿ ❞⑨❡⑩❢✗✪✬❢❶❣ ❷③❸✔❹ ★✥✪✬✫❴✦ ✴❈❺✧❻✏❼ ý ★ ÿ ✠✔❽ ü✘ÿ ★ ý❾ ④✇❿✔➀❈②✇➁✶➂ ✂ ■ ü✘ý ★ ÿ◗ ✕ ✂ ✠❭➃ ü✘ý✩þ✫ÿ✢þ✆✂➄ ➅✯➆ ❸❃➇➉➈ ♥ ❱ ❳✶➊ ❫③➋❃✦✇➋✜✫✶①✔②✏➌✯❫✹✫❃➍❴➎➉✦✸ç☛è ❚P❯ ➇ ❥ ➏ ✴❭➐ ❢➒➑➓❢→➔ ø ç☛è❈✦❈★✥✪✬✫✯➣❭↔❈↕✔➙✜➛ ô▼➜åø ➝❁➞ é❱ê➠➟✇✸✜➡