香港科技大学《基础数学》讲义：基础几何学之二：向量，解析与球面几何.pdf_P21-P25

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104 第五章,向量几何和向量代数观,各有所长。我们用前者来定义其加法和倍积,但是在讨论长度丶角度丶面积丶体积等等的几何内含时,则自要采取位移、有向线段这种几何的观点。在第二节中的讨论中,这种观点的自然转换是十分明显的。 4.位置是空间最为基本原始的概念’由此可见位移向量理所当然地是空间的最为基本原始的几何量。笫二节中所讨论的向量代数基础理论也就是要把其他各种各样基本几何量归结到位移向量去表达、计算;由此自然地产生了内积和×-积连算,但是这种结理熟章丶知四归边的形索的熟质不但求基用位移向量去表达、计算其他基本几何量的学之简的二式,之且还把定量几何学中的基本定理如相似三角形定理丶勾股定理和面积勾股定理等等有系统地转换熟向量代数中的连算律!例如 (i)向量加法的定义(即[定理5.1])植基于空间的90性(第即 9行性章三角形内角和向为9角)。在量典几何学中几于9 行的基本定理就是9行何和形的各种代数性运上问的转换, 之9行何和形定理所转换之基者就是向量加法的比换律! i)相似原则E小是(欧氏)空间的代o,这也就是向量的倍积的来源。之几于相似形的基本定理——相似三角形定理用倍积来表达就是倍积分夹律 k逼即可训义k即可k证 (ⅲi)j几于长度和角度的基本定理——勾股定理实倍义勾股定理也满足冏分样和整理上算律可’简(丶i(之熟为简单用的内积分夹律即逼证可c)义即通正可即逼 (ⅳV)[定理54]和[定理5.5]所总结的×-积连算律乃是空间几何学中几于面积丶体积丶=面角等等的基本定理是也!但是这些基本定理在量希腊时期尚未能发现由b述分样可见向量连算不仅对于了表达计算各种各样基本几何量的有任能算的代数二式’之向量连算律本给其,就是足套位移基础几何学上

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