5.2.位移向量的运算律 边长|a,|b,a+b所唯一确定。再者’中国古算中的勾股定理(即古 希腊的毕氏定理)则可以改写成 若∠a,b)=直角,则有|a+b|2=al|2+|b 而在一般a,b并非互相垂直的情形则|a+b|2-a2-b|2≠0。例如当 a=b的特殊情形,则有 + b |bP2=4|al2-|al2-|al2=2|a2 总之’对于任给两个位移向量a,b,下述函数 f(ab)=2{a+b|2-a|2-b 是一个值得研讨的几何量’例如∫(a,b)=0乃是a,b互相垂直的充要 条件,而∫a,a)=|a|2所以它显然是一个和a,b的长度、夹角都密 切相关的几何量。但是归根究底(5.1)-式所定义的几何量是否真正有用 好用’还得要看它是否具有简洁好用的优良性质。它显然具有对称 性’即∫(ab)=∫(b,a)’而详加研讨的结果会发现它其实还具有下述 简洁易算的性质,即 (5.2) f(a, b+c)=f(a,b)+ f(a, c) 若以∫(a,b)的定义(即(5.1)-式)代入(5.2)-式’即得所需证者’实乃 下述含有三个任意向量的恒等式,亦即 2 f(a, b+c)-f(a, b)-f(a, c)1 (5.2) +b+c|2-|a+b|2-|b+cl2-|c+a|2 +|aP2+|b2+|c|2≡0 要证明上述对于任给三个向量{ab,c}都普遍成立的恒等式之前’自然 要看一看是否有一种对于任给二个向量{u,Y}都普遍成立的恒等式呢 若有·则一来肯定比较容易证明·二来说不定还可以把「後者」用 来证明「前者」。要把上述想法付诸实践’当然就得有一个「後者」 究竟是怎麼样的恒等式的「猜想」才能进而证明之·是不? 基础几何学之
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国古股理(量即何希(量腊毕 氏)则我以改成若∠上,推法)「=图角骥有2而般假并伞情 0立例话鹨特殊4那总之对任何于之(量任给两0立例个下/述 抹诗/,推则4 +是时十+是/展开充 讨 升川非侵几情 }它是时计阳它它是座/展开充 陀川侵舵几提丹情 度)、夹赠特4个下/称都密切关勾股定理充 林垂情 ↓+是际它是中如中是听 请式义则上否真于小段,推法分析只看说简:假优蝨/个0立则 垂持/良个0立2而我以真质若称例看加∠即何直果会简抹垂恃/个 0立则成发现其法∠它实会简林/硒般林聾情/充个0立2,推 法例分析其实只看代我以并入抹垂恃/个0立真需待会例猜并2氏论会 上含猜并都三则不恒加之即需等亦简单例′形卿于它看否0立则 而般氏}受是都上例{角看}希立真自总形 二4肺计}时则士是计士是则来比 是研+}它是研讨 越變越它是辆时中如中是听 4}制时立时则士是讨门}说是则来比 是 它是研讨 它是{是罗计中好中是妍 }把是时则度勾股定理则般4 是研过}宇是研 是研 後了+是研}它是研讨 开中是研 上含之对自总简单等」例验会则其实良提想法诸含践于就例′形例会 简归对上含竟怎验会例自总等样′形实猜比推导例才能则优鋆相学来 示则我以、比∠垂直投影践是分解0是+是开则其中是}垂直而是 希}同(绒,(充 基础即何学都二
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5.2.位移向量的运算律 这样’就可以把(5.3)-式的证明归于上述三种业已验证的情形作如下推导 u+vP2=|u+v1|2+|v2|2 (5.4) u-v|2=|u-v1P+|v22 +v2+ u u+v1|2+|u-v1|2+2lv2 =2u2+2v1|2+2lv2|2=2u2+2y|2 现在让我们再用刚才证明的(5.3)-式纯代数地去推导(5.2)-式的普遍成立 令u=a+b,v=c,即有 +b+c+ a+b-c-2a+b 令u=a,v=b-c,即有 i)-|a+b-c|-|a-b+clP+2a2+2|b-c|2=0 令u=a+C,V=b,即有 (iii) a-b+c2+la+b+cl2-2a+c2-2 b 2=0 令u=b,v=c,即有 2|b+c|2-2|b 4|bP2+4c 将上述四个恒等式相加後再遍乘以’即得恒等式(52)’亦即(5.2)-式 普遍成立。 总结上面的讨论’我们以勾股定理为基础’证明几何量∫(a,b) {a+b2-|al2-|b2}具有(5.2)-式所表达既简且精的性质,它将是 用向量去研讨几何广泛有用的有力工具。在向量代数中,我们索兴把 基础几何学之二
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第五章,向量几何和向量代数 它想成是一种由两个向量求得一个数值的一种乘积,叫做向量的内积 ( inner product)并改用符号a·b表达之,亦即以 la+b1-la)2- b121 为向量内积的定义式。这样做的基本原由就是使得性质(5.2)可以直截 了当地改写成 (5.2) b+c)=a b+ac 这种分配律的形式,使得它运用起来能够更加得心应手。 【定义】:(向量内积)位移向量a,b的内积a·b定义为 b={a+b|2-|a2-|bl2 内积的运算律 (i)a·b=b i)a·(b+c)=a.b+ (iii)(ka). b=a (kb)=k(a b) [当k是整数或有理数时,(i)是(i)和(i)的推论。当k是非比实数时 则可用倍积的比较原则和 Eudoxus原理加以推导。 内积的几何意义 (i) (i)a.b=0分a⊥b(亦即∠a,b) (ⅲi)l在∠a,b)=θ的一般情形 b= a blo 基础几何学之
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5.2.位移向量的运算律 [(i)的证明]先验证θ=0或θ=丌这两9第五情章 量0=0几和数诚是一它谜设它它求得 成值一叫是它说它曲=它定p 量0=丌几和数谶是它它几求得 成值一立叫做它嵌数它做=(觉它武p ct般的情章几可并一改用符 是是 做 做 b成一身=0或丌几和数 成值=成值号是做一成值号是成值做 成值号亦陀坨 亦它它宦op 即]以上.1′提=了内 两个∫零向量的为定义式的11几这 rOpO=成值 萨陀它基成值 本原几上.μ′使性质,可何截当地的义式定律,写c可见几长度 分定度配可得廴向量内形数效运算几内起来能够数t更加改心 明数应的运算律几第手性改配律,C起】上凡内改配律)性勾位定 理的提移分,心之求算几也可得k性勾位定理代数化的[佳章 5鲔理面推论非比则倍Eⅹs向量论意推 四.⊥性三定章的三,推 够数三个在θ般情t点的四.⊥和 性础定三定章的推广几我们并称之为θ般四.⊥几如[图5-4求示以 基础可何学之
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