二、极限的四则运算法则 定理3.若limf(x)=A,limg(x)=B,则有 lim[f(x)±g(x)]=limf(x)±limg(x)=A±B 证：因1imf(x)=A,limg(x)=B,则有 f(x)=A+a,8(x)=B+B (其中，B为无穷小) 于是 f(x)±g(x)=(A+C)±(B+B) =(A±B)+(±B) 由定理1可知±B也是无穷小，再利用极限与无穷小 的关系定理，知定理结论成立 Ooo⊙®8
二、 极限的四则运算法则 lim f (x) = A, limg(x) = B , 则有 证: 因 lim f (x) = A, limg(x) = B , 则有 f (x) = A+ , g(x) = B + (其中 , 为无穷小) 于是 f (x) g(x) = (A+ ) (B + ) = (A B) + ( ) 由定理 1 可知 也是无穷小, 再利用极限与无穷小 的关系定理 , 知定理结论成立 . 定理 3 . 若 机动 目录 上页 下页 返回 结束
推论：若limf(x)=A,limg(x)=B,且f(x)≥g(x), 则A≥B.(P45定理5) 提示：令p(x)=f(x)-g(x) 利用保号性定理证明 说明：定理3可推广到有限个函数相加、减的情形」 Qao⊙@8
推论: 若 lim f (x) = A, limg(x) = B, 且 f (x) g(x), 则 A B . ( P45 定理 5 ) (x) = f (x) − g(x) 利用保号性定理证明 . 说明: 定理 3 可推广到有限个函数相加、减的情形 . 提示: 令 机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理4.若1imf(x)=A,limg(x)=B,则有 lim[f(x)g(x)]=lim f(x)limg(x)=4B 提示：利用极限与无穷小关系定理及本节定理2证明 说明：定理4可推广到有限个函数相乘的情形 推论1.lim[Cf(x)]=Climf(x) (C为常数) 推论2.1im[f(x)]”=[limf(x)]”(n为正整数) 例2.设n次多项式P,(x)=a0+ax++anx”,试证 lim P (x)=P (xo). x→x0 证：lim P(x)=a0+a,limx+.+an lim x” x→X0 x→xo =P(xo) OOo⊙⊙8 机无
定理 4 . 若 lim f (x) = A, limg(x) = B , 则有 提示: 利用极限与无穷小关系定理及本节定理2 证明 . 说明: 定理 4 可推广到有限个函数相乘的情形 . 推论 1 . lim[C f (x)] = Clim f (x) ( C 为常数 ) 推论 2 . n n lim[ f (x)] = [lim f (x)] ( n 为正整数 ) 例2. 设 n 次多项式 试证 lim ( ) ( ). 0 0 P x P x n n x x = → 证: = → lim ( ) 0 P x n x x 机动 目录 上页 下页 返回 结束