(4)星形线 0≤t≤2π; y=asin, x=a(cost+tsin t) (5)圆的渐开线 0≤t≤2π y=a(sin t-t cost), (6)心脏线r=a(1-cos0),0≤0≤2π; (7)阿基米德螺线r=a0,0≤θ≤2π; (8 r= asin 0≤6≤3m 4.在旋轮线的第一拱上,求分该拱的长度为1:3的点的坐标 5.求下列几何体的体积: (1)正椭圆台:上底是长半轴为a、短半轴为b的椭圆,下底是长半轴为A、短半轴为 B的椭圆(A>a,B>b),高为h (2)椭球体 (3)直圆柱面x2+y2=a2和x2+2=a2所围的几何体; (4)球面x2+y2+22=a2和直圆柱面x2+y2=ax所围的几何体。 6.证明以下旋转体的体积公式 (1)设∫(x)≥0是连续函数,由0≤a≤x≤b,0≤y≤∫(x)所表示的区域绕y轴旋转 周所成的旋转体的体积为 V=2rxf(x)do (2)在极坐标下,由0≤α≤θ≤β≤π,0≤r≤r(θ)所表示的区域绕极轴旋转一周所 成的旋转体的体积为 2 r(0)sin Ade 7.求下列曲线绕指定轴旋转一周所围成的旋转体的体积: (2)y=sinx,y=0,0≤x≤π, ①绕x轴,②绕y轴 a cost (3)星形线 0≤t≤π,绕x y=asin =a(t-sin t), (4)旋轮线 t∈[0,2r],y=0, y=a(l- cOs ①绕y轴,②绕直线y=2a; (5)x2+(y-b)2=a2,(0<a≤b),绕x轴 心脏线r=a(1-cos0),绕极轴; 对数螺线r=ae°,0≤0≤π,绕极轴 )2=a2(x2-y2),绕x轴 8.将抛物线y=x(x-a)与y=0所界区域在x∈[0,a]和x∈[a,c]的部分分别绕x轴旋 转一周后,所得到旋转体的体积相等,求c与a的关系 9.记()是曲线y=,x与y=0所界区域在x∈[0.1的部分绕x轴旋转一周所得 到的旋转体的体积,求常数a使得满足
⑷ 星形线 ； x a t y a t t = = ⎧ ⎨ ⎩ ≤ ≤ cos , sin , 3 3 0 2π ⑸ 圆的渐开线 ； x a t t t y a t t t t = + = − ⎧ ⎨ ⎩ ≤ ≤ (cos sin ), (sin cos ), 0 2π ⑹ 心脏线r a = − ( c 1 osθ) ，0 2 ≤ θ ≤ π ； ⑺ 阿基米德螺线r a = θ, 0 2 ≤ θ ≤ π ； ⑻ 3 sin3 θ r = a ，0 ≤ θ ≤ 3π 。 ⒋ 在旋轮线的第一拱上，求分该拱的长度为 1:3 的点的坐标。 ⒌ 求下列几何体的体积： ⑴ 正椭圆台：上底是长半轴为a 、短半轴为b 的椭圆，下底是长半轴为 A 、短半轴为 B 的椭圆（ A a > , B > b），高为 h ； ⑵ 椭球体 x a y b z c 2 2 2 2 2 2 + + = 1； ⑶ 直圆柱面 x y 2 2 + = a2 和 x z a 2 2 2 + = 所围的几何体； ⑷ 球面 x y 2 2 + + z 2 = a2 和直圆柱面 x y ax 2 2 + = 所围的几何体。 ⒍ 证明以下旋转体的体积公式： ⑴ 设 f x( ) ≥ 0 是连续函数，由0 ≤ a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f (x) 所表示的区域绕 轴旋转 一周所成的旋转体的体积为 y V xf x a b = 2π∫ ( )dx ； ⑵ 在极坐标下，由 0 ≤ ≤ α θ ≤ β ≤ π, 0 ≤ r r ≤ (θ) 所表示的区域绕极轴旋转一周所 成的旋转体的体积为 V r = ∫ 2 3 3 d π θ θ α β ( )sin θ 。 ⒎ 求下列曲线绕指定轴旋转一周所围成的旋转体的体积： ⑴ x a y b 2 2 2 2 + = 1，绕 x 轴； ⑵ y x = sin ， y = 0 ，0 ≤ x ≤ π， ① 绕 x 轴， ② 绕 y 轴； ⑶ 星形线 ，绕 x a t y a t t = = ⎧ ⎨ ⎩ ≤ ≤ cos , sin , 3 3 0 π x 轴； ⑷ 旋轮线 ， x a t t y a t t = − = − ⎧ ⎨ ⎩ ∈ ( sin ), ( cos ), [ , ] 1 0 2π y = 0 ， ① 绕 y 轴， ② 绕直线 y a = 2 ； ⑸ x y 2 2 + − ( ) b = a2 ，（0 < a ≤ b ），绕 x 轴； ⑹ 心脏线r a = − ( c 1 osθ) ，绕极轴； ⑺ 对数螺线r a = e , θ 0 ≤ θ ≤ π ，绕极轴； ⑻ ( ) x y 2 2 + =2 a2 (x 2 − y 2 )，绕 x 轴。 ⒏ 将抛物线 y x = ( ) x − a 与 y = 0 所界区域在 x a ∈[ , 0 ]和 x a ∈[ , c]的部分分别绕 x 轴旋 转一周后，所得到旋转体的体积相等，求c 与a 的关系。 ⒐ 记V(ξ) 是曲线 y x x = 1+ 2 与 y = 0 所界区域在 x ∈[ , 0 ξ] 的部分绕 x 轴旋转一周所得 到的旋转体的体积，求常数a 使得满足 6
V(a)=n lim v(s) 10.将椭圆 1绕x轴旋转一周围成一个旋转椭球体,再沿x轴方向用半径为 (r<b)的钻头打一个穿心的圆孔,剩下的体积恰为原来椭球体体积的一半,求r的 值 1l.设直线y=ax(0<a<1)与抛物线y=x2所围成的图形的面积为S,且它们与直 线x=1所围成图形的面积为S2 1)试确定a的值,使得S+S2达到最小,并求出最小值; 2)求该最小值所对应的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积 12.设函数∫(x)在闭区间[0上连续,在开区间(0,1)上大于零,并满足 xf(x)=f(x)+x2(a为常数) 进一步,假设曲线y=f(x)与直线x=1和y=0所围的图形S的面积为2 )求函数f(x) 2)当a为何值时,图形S绕x轴旋转一周所得旋转体的体积最小? 13.求下列旋转曲面的面积: y=sinx,0≤x≤兀,绕x轴; 1,绕x轴 =acos t (4)星形线 0≤t≤π,绕x轴 (5)心脏线r=a(1-cosθ),绕极轴 (6)双纽线r2=a2cos20, (i)绕极轴,(i)绕射线θ= 14.设曲线y=√x-1,过原点作其切线,求由该曲线、所作切线及x轴所围成的平面图形 绕x轴旋转一周所得旋转体的表面积。 15.证明由空间曲线 x(1) y(1),t∈[T1,T2 二=(1) 垂直投影到Ox平面所形成的柱面的面积公式为 S=」2(Vx()]2+[y'(t)]2dt 这里假设x'(1),y(1),z(1)在[T272]上连续,且(1)≥0。 16.求下列曲线在指定点的曲率和曲率半径。 (1)xy=4,在点(2,2) (2)x=a(t-sint),y=a(1-cos)(a>0),在t=7/2对应的点 17.求下列曲线的曲率和曲率半径 (1)抛物线y2=2px(p>0) (2)双曲线
V a( ) = lim V( ) →+∞ 1 2 ξ ξ 。 10. 将椭圆 x a y b 2 2 2 2 + = 1绕 x 轴旋转一周围成一个旋转椭球体，再沿 x 轴方向用半径为 r （r < b ）的钻头打一个穿心的圆孔，剩下的体积恰为原来椭球体体积的一半，求r 的 值。 11. 设直线 y = ax （ ）与抛物线 所围成的图形的面积为 ，且它们与直 线 所围成图形的面积为 。 0 < a < 1 2 y = x 1 S x = 1 2 S 1） 试确定 a 的值，使得 S1 + S2 达到最小，并求出最小值； 2） 求该最小值所对应的平面图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积。 12. 设函数 f (x) 在闭区间[0,1]上连续，在开区间(0,1) 上大于零，并满足 2 2 3 ( ) ( ) x a xf ′ x = f x + （ a 为常数）。 进一步，假设曲线 y = f (x)与直线 x = 1和 y = 0 所围的图形 S 的面积为 2。 1） 求函数 f (x) ； 2） 当 a 为何值时，图形 S 绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积最小？ 13. 求下列旋转曲面的面积： ⑴ y 2 px ，0 2 = ≤ ≤ x a ，绕 x 轴； ⑵ y x = sin ，0 ≤ ≤ x π，绕 x 轴； ⑶ x a y b 2 2 2 2 + = 1，绕 x 轴； ⑷ 星形线 ，绕 x a t y a t t = = ⎧ ⎨ ⎩ ≤ ≤ cos , sin , 3 3 0 π x 轴； ⑸ 心脏线r a = − ( c 1 osθ) ，绕极轴； ⑹ 双纽线 r 2 = a 2 cos 2θ ， （i）绕极轴，(ii) 绕射线θ π = 2 。 14. 设曲线 y = x −1 ，过原点作其切线，求由该曲线、所作切线及 轴所围成的平面图形 绕 轴旋转一周所得旋转体的表面积。 x x 15. 证明由空间曲线 x x t y y t z z t t T T = = = ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ ∈ ( ), ( ), ( ), [ , ] 1 2 垂直投影到 Oxy 平面所形成的柱面的面积公式为 S = ∫ z t x t ′ + y t ′ dt T T ( ) [ ( )] [ ( )] 2 2 1 2 ， 这里假设 x′(t) ， y′(t)， z t ′( ) 在[T1 ,T2 ]上连续，且 z(t) ≥ 0 。 16. 求下列曲线在指定点的曲率和曲率半径。 （1） xy = 4 ，在点(2,2) ； （2） x = a(t − sin t), y = a(1− cost)（ a > 0 ），在t = π / 2 对应的点。 17. 求下列曲线的曲率和曲率半径。 （1） 抛物线 y 2 px （ ）； 2 = p > 0 （2） 双曲线 1 2 2 2 2 − = b y a x ； 7