数学 必修第一册 配人教B版 或⑦，解答时应考虑B=心的情况 解析由题意，得A=(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},B= 正解当B≠0时，由A={x|x2-2x-3=0},得A= {-3,2} {-1,3}. ,题图中阴影部分表示集合为A∩B, A∩B=B,∴.B≤A,∴.B={-1}或B={3 .A∩B={2} 当B={-1}时，由-a-2=0,得a=-2: 答案A 当B={3}时，由3a-2=0,得a=5 2 3.设集合A={x|x>1},B={x|-1<x≤3}，则AUB= ,A∩B= 当B=心时，由方程ax一2=0无实数根，得a=0. 答案(-1，十∞)(1,3] 综上可知，由实数a的取值构成的集合C=-2.0,号}。 4.某班参加兴趣小组的学生共30人，其中20人参加篮球运 飞防范措施 动小组，16人参加排球运动小组，则有 人既参 ☑有两个独特的性质，即： 加了篮球运动小组又参加了排球运动小组。 (1)对于任意集合A,皆有A∩心=财. 解析，card(AUB)=card(A)十card(B)- (2)对于任意集合A,皆有AU0=A. card(A∩B), 正因如此，如果A∩B=A,那么就要考虑集合A .两个小组都参加的人数为20十16一30=6. 可能是心的情况：如果AUB=A,那么就要考虑集合 答案6 B可能是☑的情况. 5.已知集合A={x|3≤x<7},B={x|2<x<10},C={x| x<3或x≥7}，求： 随堂训练。。·。。。。 (1)AUB:(2)C∩B 1.若集合A={0,1,2,3},B={1,2,4},则集合AUB等于 解(1)集合A={x|3≤x<7},B={x|2<x<10},把两 ( 个集合表示在数轴上如图所示： A.{0,1,2,3,4}B.{1,2,3,4}C.{1,2} D.{0 BA. 答案A 012月456片890 2.设集合A={x∈N1≤x≤10}，B={x∈R|x2+x-6= 故AUB={x|2<x<10}. 0},则图中阴影部分表示的集合为( (2)集合B={x|2x<10},C={x|x<3或x≥7}， 把两个集合表示在数轴上如图所示： 012345678910 A.{2 B.{3} C.{-3,2} D.{-2,3} 故C∩B={x|2<x<3或7≤x<10} 课后 训练提升 基础：巩固 解析由A∩B={2},得2a=2,解得a=1,则b=2,故 a十b=3. 1若集合M={-1,1},N={-2,1,0},则M∩N=( 答案C A.{0,-1} B.{1} 4.设集合A={-1,0,1},B={a,a2),则使AUB=A成立 C.{o} D.{-1,1} 的a的值是( 答案B A-1 B.0 2.已知集合A={(x,y)x十y=3},B={(x,y)x-y= C.1 D.-1或1或0 1},则A∩B=( 解析AUB=A,∴.B二A,a2=0或a2=1, A.{2,1} B.{x=2,y=1} ∴.a=0或a=士1，但a=0与a=1不合题意，舍去」 C.{(2,1)} D.(2,1) ∴.a=-1. 解析A∩B=x,y) r+y=3, x-y=1 ={(2,1). 答案A 答案C 5.设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|x<0或x≥2}，则AU 3.设集合A={5,2a},B={a,b.若A∩B={2,则a十b B等于( 等于( A.{x|x<0或x≥1} B.{x|x<0或x≥3》 C.{x|x<0或x≥2} D.{x|2≤x3} A.1 B.2 C.3 D.4 解析结合数轴 16
数 学 必修 第一册 配人教B版 或⌀,解答时应考虑B=⌀的情况. 正解 当B≠⌀时,由A={x|x2-2x-3=0},得A= {-1,3}. ∵A∩B=B,∴B⊆A,∴B={-1}或B={3}. 当B={-1}时,由-a-2=0,得a=-2; 当B={3}时,由3a-2=0,得a= 2 3 . 当B=⌀时,由方程ax-2=0无实数根,得a=0. 综上可知,由实数a的取值构成的集合C= -2,0, 2 3 . ⌀有两个独特的性质,即: (1)对于任意集合A,皆有A∩⌀=⌀. (2)对于任意集合A,皆有A∪⌀=A. 正因如此,如果A∩B=A,那么就要考虑集合A 可能是⌀的情况;如果A∪B=A,那么就要考虑集合 B 可能是⌀的情况. 随堂训练 1.若集合A={0,1,2,3},B={1,2,4},则集合A∪B 等于 ( ) A.{0,1,2,3,4}B.{1,2,3,4}C.{1,2} D.{0} 答案 A 2.设集合A={x∈N|1≤x≤10},B={x∈R|x2+x-6= 0},则图中阴影部分表示的集合为( ) A.{2} B.{3} C.{-3,2} D.{-2,3} 解析 由题意,得 A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},B= {-3,2}. ∵题图中阴影部分表示集合为A∩B, ∴A∩B={2}. 答案 A 3.设集合A={x|x>1},B={x|-1<x≤3},则A∪B= ,A∩B= . 答案 (-1,+∞) (1,3] 4.某班参加兴趣小组的学生共30人,其中20人参加篮球运 动小组,16人参加排球运动小组,则有 人既参 加了篮球运动小组又参加了排球运动小组. 解析 ∵card(A ∪B)=card(A )+card(B)- card(A∩B), ∴两个小组都参加的人数为20+16-30=6. 答案 6 5.已知集合A={x|3≤x<7},B={x|2<x<10},C={x| x<3或x≥7},求: (1)A∪B;(2)C∩B. 解 (1)集合A={x|3≤x<7},B={x|2<x<10},把两 个集合表示在数轴上如图所示: 故A∪B={x|2<x<10}. (2)集合B={x|2<x<10},C={x|x<3或x≥7}, 把两个集合表示在数轴上如图所示: 故C∩B={x|2<x<3或7≤x<10}. 课后 ·训练提升 基础 巩固 1.若集合M={-1,1},N={-2,1,0},则M∩N=( ) A.{0,-1} B.{1} C.{0} D.{-1,1} 答案 B 2.已知集合A={(x,y)|x+y=3},B={(x,y)|x-y= 1},则A∩B=( ) A.{2,1} B.{x=2,y=1} C.{(2,1)} D.(2,1) 解析 A∩B= (x,y) x+y=3, x-y=1 ={(2,1)}. 答案 C 3.设集合A={5,2a},B={a,b}.若A∩B={2},则a+b 等于( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析 由A∩B={2},得2a=2,解得a=1,则b=2,故 a+b=3. 答案 C 4.设集合A={-1,0,1},B={a,a2},则使A∪B=A 成立 的a的值是( ) A.-1 B.0 C.1 D.-1或1或0 解析 ∵A∪B=A,∴B⊆A,∴a2=0或a2=1, ∴a=0或a=±1,但a=0与a=1不合题意,舍去. ∴a=-1. 答案 A 5.设集合A={x|1≤x≤3},B={x|x<0或x≥2},则A∪ B 等于( ) A.{x|x<0或x≥1} B.{x|x<0或x≥3} C.{x|x<0或x≥2} D.{x|2≤x≤3} 解析 结合数轴 16
第一章集合与常用逻辑用语 解析M={xly=x2-1}=R,N={yly=x2-1}={y y≥-1}，故M∩N={yly≥-1. 知AUB={x|x<0或x≥1}. 答案D 答案A 3.设集合A={1,2,6},B={2,4},C={x∈R|-1≤x≤5}， 6.已知集合A={1,2,3},B={2,4,5},则集合AUB中元 则(AUB)∩C=() 素的个数为」 A.{2} B.{1,2,4} 解析易知AUB={1,2,3,4,5},故AUB中有5个元素. C.{1,2,4,6} D.{x∈R|-1x5} 答案5 解析AUB={1,2,4,6},(AUB)∩C={1,2,4},故选B. 7.已知集合A={x|x<1或x>5},B={x|a≤x≤b},且 答案B AUB=R,A∩B={x|5x6},则2a-b= 4.如果集合A,B同时满足AUB={1,2,3,4},A∩B= 解析如图， {1},A≠{1}，B≠{1}，那么就称有序集对(A,B)为“好集 对”.这里有序集对(A,B)是指，当A≠B时，(A,B)和 6 (B,A)是不同的集对，则“好集对”的个数为() A.5 B.6 由题意可知a=1,b=6,所以2a一b=-4. C.7 D.8 答案一4 解析AUB={1,2,3,4},A∩B=1,A≠{1}，B≠{1}， 8.已知集合A={xla<x≤a+8},B={x|x<-1或x> ∴.当A={1,2}时，B={1,3,4}: 5}.若AUB=R,则实数a的取值范围为 当A={1,3}时，B={1,2,4}: 解析由题意AUB=R,在数轴上表示出A,B,如图。 当A={1,4}时，B={1,2,3}: 当A={1,2,3}时，B={1,4}: 当A={1,2,4}时，B={1,3}: 当A={1,3,4}时，B={1,2. 故满足条件的“好集对”的个数为6. 答案B 答案-3≤a<-1 3-x>0, 9已知集合A=F{6x十60B=x3>2x-1.求 设集合A=-引=}B=l+2a+11+ (a2-5)=0}.若A∩B=B,则实数a的取值范围为 A∩B,AUB 解：A= 3-20,}=xl-2<<3, l3.x+6>0/ 解折A=女-引-引=1,2，B=1+ B={x|3>2x-1}={x|x<2. 2(a+1)t+(a2-5)=01. 用数轴表示集合A,B,如图 由A∩B=B,得B二A. 当4(a十1)2-4(a2-5)<0,即a<-3时，B=0, 符合题意； 当4(a+1)2一4(a2一5)=0，即a=一3时，B= ..AnB=(|-2<<2),AUB=(la<3). {tt2-4t十4=0}={2}，符合题意： 拓展·提高 当4(a十1)2-4(a2-5)>0,即a>-3时，要使B≤ 1.已知集合M={0,1,2,3,4},N={1,3,5},P=M∩N,则 A,则B=A, P的子集的个数为( 此方程组无解」 A.2 B.4 C.6 D.8 故实数a的取值范围是{aa≤-3}. 解析P=M∩N={1,3},∴P的子集的个数为22=4. 答案{ala≤-3} 答案B 6.若集合A={2,4,x},B={2,x2},且AUB={2,4,x},则 x= 2.已知集合M={x|y=x2-1},N={yly=x2-1},则 M∩N等于() 解析由已知，得B二A,则x2=4或x2=x,解得x=0, A.{yly=-1或0} 1,±2. B.{xlx=0或1} 由元素的互异性知x≠2， C.{(0,-1),(1,0)} 故x=0,1或-2. D.{yly≥-1} 答案0,1或-2 17
第一章 集合与常用逻辑用语 知A∪B={x|x<0或x≥1}. 答案 A 6.已知集合A={1,2,3},B={2,4,5},则集合A∪B 中元 素的个数为 . 解析 易知A∪B={1,2,3,4,5},故A∪B 中有5个元素. 答案 5 7.已知集合A={x|x<1或x>5},B={x|a≤x≤b},且 A∪B=R,A∩B={x|5<x≤6},则2a-b= . 解析 如图, 由题意可知a=1,b=6,所以2a-b=-4. 答案 -4 8.已知集合A={x|a<x≤a+8},B={x|x<-1或x> 5}.若A∪B=R,则实数a的取值范围为 . 解析 由题意A∪B=R,在数轴上表示出A,B,如图. 则 a<-1, a+8≥5, 解得-3≤a<-1. 答案 -3≤a<-1 9.已知集合A= x 3-x>0, 3x+6>0 ,B={x|3>2x-1},求 A∩B,A∪B. 解 ∵A= x 3-x>0, 3x+6>0 ={x|-2<x<3}, B={x|3>2x-1}={x|x<2}. 用数轴表示集合A,B,如图. ∴A∩B={x|-2<x<2},A∪B={x|x<3}. 拓展 提高 1.已知集合M={0,1,2,3,4},N={1,3,5},P=M∩N,则 P 的子集的个数为( ) A.2 B.4 C.6 D.8 解析 ∵P=M∩N={1,3},∴P 的子集的个数为22=4. 答案 B 2.已知集合 M ={x|y=x2-1},N={y|y=x2-1},则 M∩N 等于( ) A.{y|y=-1或0} B.{x|x=0或1} C.{(0,-1),(1,0)} D.{y|y≥-1} 解析 M={x|y=x2-1}=R,N={y|y=x2-1}={y| y≥-1},故M∩N={y|y≥-1}. 答案 D 3.设集合A={1,2,6},B={2,4},C={x∈R|-1≤x≤5}, 则(A∪B)∩C=( ) A.{2} B.{1,2,4} C.{1,2,4,6} D.{x∈R|-1≤x≤5} 解析 A∪B={1,2,4,6},(A∪B)∩C={1,2,4},故选B. 答案 B 4.如果集合 A,B 同时满足A∪B={1,2,3,4},A∩B= {1},A≠{1},B≠{1},那么就称有序集对(A,B)为“好集 对”.这里有序集对(A,B)是指,当A ≠B 时,(A,B)和 (B,A)是不同的集对,则“好集对”的个数为( ) A.5 B.6 C.7 D.8 解析 ∵A∪B={1,2,3,4},A∩B={1},A≠{1},B≠{1}, ∴当A={1,2}时,B={1,3,4}; 当A={1,3}时,B={1,2,4}; 当A={1,4}时,B={1,2,3}; 当A={1,2,3}时,B={1,4}; 当A={1,2,4}时,B={1,3}; 当A={1,3,4}时,B={1,2}. 故满足条件的“好集对”的个数为6. 答案 B 5.设集合A= x x- 3 2 = 1 2 ,B={t|t2+2(a+1)t+ (a2-5)=0}.若 A∩B=B,则实数a 的取值范围为 . 解析 A = x x- 3 2 = 1 2 = {1,2},B = {t|t2 + 2(a+1)t+(a2-5)=0}. 由A∩B=B,得B⊆A. 当4(a+1)2-4(a2-5)<0,即a<-3时,B=⌀, 符合题意; 当4(a+1)2-4(a2-5)=0,即a=-3时,B= {t|t2-4t+4=0}={2},符合题意; 当4(a+1)2-4(a2-5)>0,即a>-3时,要使B⊆ A,则B=A, 即 1+2=-2(a+1), 1×2=a2-5, 此方程组无解. 故实数a的取值范围是{a|a≤-3}. 答案 {a|a≤-3} 6.若集合A={2,4,x},B={2,x2},且A∪B={2,4,x},则 x= . 解析 由已知,得B⊆A,则x2=4或x2=x,解得x=0, 1,±2. 由元素的互异性知x≠2, 故x=0,1或-2. 答案 0,1或-2 17
数学 必修 第一册 配人教B版 挑战·创新 已知集合A={x|-1x<3},B={x|2x一4≥x一2}. 故A∩B={x|2≤x<3}. (1)求A∩B: (2)若集合C={x|2x十a>0},满足BUC=C,求实数a (2由题意，得C=>-受} 的取值范围 .BUC=C,..BCC, 解(1)由题意，得B={x|x≥2}. 2 <2,a>-4. A={x|-1≤x<3},如图. 第2课时补集 1.了解全集的含义及其符号表示 课标定位 2.理解给定集合中一个子集的补集的含义，并会求给定子集的补集， 素养阐释 3.熟练掌握集合的交、并、补运算 4.体会数学抽象的过程，培养直观想象和数学运算能力 课前·基础认知 一 、全集与补集 解CA={1,2,3},CB={0,1},AUB={0,2,3,4}, 【问题思考】 C(AUB)=(1). 1.已知集合U={0,2,4,6,8,10},M={0,2,4,6},N= 二、补集的性质 {8,10}. 【问题思考】 (1)M,N与U是什么关系？ 1.已知U={1,2,3,4,5,6},A={1,2,3},B={2,3, (2)若元素a∈U,且a任M,则a与N有什么关系？ 4},求AUB,A∩B,CA,CB,AU(CA),A∩(CA), (3)集合V可看作由M,U如何处理得到的？ Cu(CA),(CA)∩(CB),(eA)U(CuB),C(A∩B), 提示(1)MCU,NCU. Ce(A UB). (2)a∈N. 提示AUB={1,2,3,4},A∩B={2,3},CA={4,5, (3)在U中除去M的元素，余下的所有元素组成集合N, 6},CB={1,5,6},AU(CA)=U,A∩(CA)=, 2.填空：(1)全集 C(GA)=A,(GA)(CB)=(5,6),(GA)U(CB)= 在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集 {1,4,5,6,Cu(A∩B)={1,4,5,6,Cu(AUB)={5,6. 合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全 2.填空：补集的性质 集，通常用符号U表示 (1)AU(CA)=U,A∩(A)=②，w(C4)=A. (2)补集 (2)(CA)(CB)=C(AUB),(CA)U(GB)= 如果集合A是全集U的一个子集，则由U中不 (A∩B) 自然语言 属于A的所有元素组成的集合，称为A在U中 3.做一做：设全集为U,A={1,2,4,5},CA={3},则 的补集，记作CA,读作A在U中的补集 U等于( 符号语言 CA={xlx∈U,且x￠A} A.0 B.{1,2,4,5} C.{1,2,3,4,5} D.(3} 图形语言 答案C 【思考辨析】 判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内画 (3)由全集U及其子集A得到A,通常称为补集运算。 “、/”,错误的画“X” 3.补集运算的结果是数还是集合？ (1)求一个集合的补集必须明确其全集是什么.（√） 提示集合 (2)数集问题的全集一定是R (X) 4.做一做：已知U={0,1,2,3,4},A={0,4},B={2, (3)集合CgC与CaC相等. (X) 3,4),CA,CB.AUB.Co(A UB). (4)A∩(CA)=0. (√) 18
数 学 必修 第一册 配人教B版 挑战 创新 已知集合A={x|-1≤x<3},B={x|2x-4≥x-2}. (1)求A∩B; (2)若集合C={x|2x+a>0},满足B∪C=C,求实数a 的取值范围. 解 (1)由题意,得B={x|x≥2}. ∵A={x|-1≤x<3},如图. 故A∩B={x|2≤x<3}. (2)由题意,得C= x x>- a 2 . ∵B∪C=C,∴B⊆C, ∴- a 2 <2,∴a>-4. 第2课时 补集 课标定位 素养阐释 1.了解全集的含义及其符号表示. 2.理解给定集合中一个子集的补集的含义,并会求给定子集的补集. 3.熟练掌握集合的交、并、补运算. 4.体会数学抽象的过程,培养直观想象和数学运算能力. 课前 ·基础认知 一、全集与补集 【问题思考】 1.已知集合U={0,2,4,6,8,10},M={0,2,4,6},N= {8,10}. (1)M,N 与U 是什么关系? (2)若元素a∈U,且a∉M,则a与N 有什么关系? (3)集合N 可看作由M,U 如何处理得到的? 提示 (1)M⊆U,N⊆U. (2)a∈N. (3)在U 中除去M 的元素,余下的所有元素组成集合N. 2.填空:(1)全集 在研究集合与集合之间的关系时,如果所要研究的集 合都是某一给定集合的子集,那么称这个给定的集合为全 集,通常用符号U 表示. (2)补集 自然语言 如果集合A 是全集U 的一个子集,则由U 中不 属于A 的所有元素组成的集合,称为A 在U 中 的补集,记作∁UA,读作A 在U 中的补集 符号语言 ∁UA={x|x∈U,且x∉A} 图形语言 (3)由全集U 及其子集A 得到∁UA,通常称为补集运算. 3.补集运算的结果是数还是集合? 提示 集合. 4.做一做:已知U={0,1,2,3,4},A={0,4},B={2, 3,4},求∁UA,∁UB,A∪B,∁U(A∪B). 解 ∁UA={1,2,3},∁UB={0,1},A∪B={0,2,3,4}, ∁U(A∪B)={1}. 二、补集的性质 【问题思考】 1.已知U={1,2,3,4,5,6},A={1,2,3},B={2,3, 4},求A∪B,A∩B,∁UA,∁UB,A∪(∁UA),A∩(∁UA), ∁U(∁UA),(∁UA)∩(∁UB),(∁UA)∪(∁UB),∁U(A∩B), ∁U(A∪B). 提示 A∪B={1,2,3,4},A∩B={2,3},∁UA={4,5, 6},∁UB= {1,5,6},A ∪ (∁UA)=U,A ∩ (∁UA)= ⌀, ∁U(∁UA)=A,(∁UA)∩(∁UB)={5,6},(∁UA)∪(∁UB)= {1,4,5,6},∁U(A∩B)={1,4,5,6},∁U(A∪B)={5,6}. 2.填空:补集的性质 (1)A∪(∁UA)=U,A∩(∁UA)=⌀,∁U(∁UA)=A. (2)(∁UA)∩(∁UB)=∁U (A∪B),(∁UA)∪(∁UB)= ∁U(A∩B). 3.做一做:设全集为U,A={1,2,4,5},∁UA={3},则 U 等于( ) A.⌀ B.{1,2,4,5} C.{1,2,3,4,5} D.{3} 答案 C 【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画 “√”,错误的画“×”. (1)求一个集合的补集必须明确其全集是什么. (√) (2)数集问题的全集一定是R. (×) (3)集合∁BC 与∁AC 相等. (×) (4)A∩(∁UA)=⌀. (√) 18
第一章集合与常用逻辑用语 课堂 重难突破 解析AUB=1,2,3,4,5,6}, 探究一 集合的补集运算 .C(AUB)={7,8. 【例1】已知全集U=R,集合A={x|0<x<4},B= A∩B={3}, {xlx<1},求CA,CB,C(A∩B) ∴.C(A∩B)={1,2,4,5,6,7,8. 分析画数轴→根据补集的定义→求解 答案(1){7,8}{1,2,4,5,6,7,8} 解由题意，得A∩B={x|0<x<4}∩{x|x<1}= (2)设全集U=R,集合A={x|-1<x<2},集合B= {xI1<x<3},求A∩B,AUB,C(A∩B),C(AUB). {x|0<x<1},画数轴如图 解集合A,B在数轴上表示，如图. 则A={xx≤0或x≥4. -2-10123 同理，CB={xlx≥1}，Cu(A∩B)={xx≤0或x≥1. A∩B={x|-1x<2}∩{xl1<x<3}={xl1<x<2}, 延伸探究 AUB={x|-1<x<2}U{x|1<x<3}={x|-1< (1)将例1中的全集改为U=(一∞，8]，其他不变. x<3}, (2)将例1变为：已知全集0U={0,1,2,3,4,5,6},集合 C(A∩B)={xlx≤1或x≥2}， A={x∈N|0<x<4),B={x∈N|x<3},求CB和 C(AUB)={xlx≤-1或x≥3. C(A∩B). 反思感悟一 解(1)CA={x|x≤0或4≤x≤8)，CB={x|1≤ 1.对于有限集之间的基本运算，借助维恩图能使 x≤8)，Cu(A∩B)={xlx0或1≤x≤8}. 问题更直观、形象，且解答时不易出错】 (2)由题意，得A={1,2,3},B={0,1,2},作出雏恩图， 2如果所给集合是无限集，那么常借助数轴，先把 如图 已知集合及全集分别表示在数轴上，再进行交、并、补 集的运算.解答过程中要注意边界问题， 4.5.6 【变式训练2】已知全集U={x|x≤4}，集合A 20 {x|-2<x<3},B={x|-3≤x≤2，求A∩B,(CA)U B,A∩(CB),Cu(AUB) 故CB={3,4,5,6},C(A∩B)={0,3,4,5,6}. 解如图. 反思感悟 求集合的补集的基本方法及处理技巧， U (1)基本方法：定义法」 -3-2-101234六 (2)两种处理技巧： A={x|-2<x<3},B={x|-3≤x≤2}，U={x ①当集合用列举法表示时，直接利用定义或借助 x≤4}， 维恩图求解。 .CA={xlx≤-2或3≤x≤4}，CB={x|x<-3 ②当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助 或2<x≤4}，AUB={x|-3≤x<3} 数轴，利用数轴分析法求解】 ∴.A∩B={x|-2<x≤2}， 【变式训练1】(1)已知全集U={1,2,3,4,5,6,7},集 (CA)UB={x|x≤2或3≤x≤4}， 合A=1,3,5,6},则A等于() A∩(CB)={x|2<x<3}, A.{1,3,5,6} B.{2,3,7} C(AUB)={xlx<-3或3≤x≤4. C.{2.4,7} D.{2.5,7} 探究三补集中的含参问题 (2)设全集U=R,集合A={x|x<一1或x≥2}，集合 B={xl0<x≤3}，则(CRA)UB= 【例3】已知集合A={x|2a-2<x<a},B={xl1< 答案(1)C(2){x|-1≤x≤3} x<2},且A车CRB,求实数a的取值范围 分析求出CB,根据A三CRB,列出不等式组，可求实 探究二集合的交、并、补的综合运算 数a的取值范围」 【例2】(1)设全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},A={1,2, 解C.B={xlx≤1或x≥2}≠0. 3},B={3,4,5,6},则C(AUB)= ,C(A∩B)= A车CRB, ∴.分A=⑦和A≠0两种情况讨论 19
第一章 集合与常用逻辑用语 课堂 ·重难突破 探究一 集合的补集运算 【例1】已知全集U=R,集合A={x|0<x<4},B= {x|x<1},求∁UA,∁UB,∁U(A∩B). 分析 画数轴 → 根据补集的定义 → 求解 解 由题意,得A∩B={x|0<x<4}∩{x|x<1}= {x|0<x<1},画数轴如图, 则∁UA={x|x≤0或x≥4}. 同理,∁UB={x|x≥1},∁U(A∩B)={x|x≤0或x≥1}. (1)将例1中的全集改为U=(-∞,8],其他不变. (2)将例1变为:已知全集U={0,1,2,3,4,5,6},集合 A={x∈N|0<x<4},B={x∈N|x<3},求 ∁UB 和 ∁U(A∩B). 解 (1)∁UA={x|x≤0或4≤x≤8},∁UB={x|1≤ x≤8},∁U(A∩B)={x|x≤0或1≤x≤8}. (2)由题意,得A={1,2,3},B={0,1,2},作出维恩图, 如图. 故∁UB={3,4,5,6},∁U(A∩B)={0,3,4,5,6}. 求集合的补集的基本方法及处理技巧. (1)基本方法:定义法. (2)两种处理技巧: ①当集合用列举法表示时,直接利用定义或借助 维恩图求解. ②当集合是用描述法表示的连续数集时,可借助 数轴,利用数轴分析法求解. 【变式训练1】(1)已知全集U={1,2,3,4,5,6,7},集 合A={1,3,5,6},则∁UA 等于( ) A.{1,3,5,6} B.{2,3,7} C.{2,4,7} D.{2,5,7} (2)设全集U=R,集合A={x|x<-1或x≥2},集合 B={x|0<x≤3},则(∁RA)∪B= . 答案 (1)C (2){x|-1≤x≤3} 探究二 集合的交、并、补的综合运算 【例2】(1)设全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},A={1,2, 3},B={3,4,5,6},则∁U(A∪B)= ,∁U(A∩B)= . 解析 ∵A∪B={1,2,3,4,5,6}, ∴∁U(A∪B)={7,8}. ∵A∩B={3}, ∴∁U(A∩B)={1,2,4,5,6,7,8}. 答案 (1){7,8} {1,2,4,5,6,7,8} (2)设全集U=R,集合A={x|-1<x<2},集合B= {x|1<x<3},求A∩B,A∪B,∁U(A∩B),∁U(A∪B). 解 集合A,B 在数轴上表示,如图. A∩B={x|-1<x<2}∩{x|1<x<3}={x|1<x<2}, A∪B={x|-1<x<2}∪{x|1<x<3}={x|-1< x<3}, ∁U(A∩B)={x|x≤1或x≥2}, ∁U(A∪B)={x|x≤-1或x≥3}. 1.对于有限集之间的基本运算,借助维恩图能使 问题更直观、形象,且解答时不易出错. 2.如果所给集合是无限集,那么常借助数轴,先把 已知集合及全集分别表示在数轴上,再进行交、并、补 集的运算.解答过程中要注意边界问题. 【变式训练2】已知全集U={x|x≤4},集合 A= {x|-2<x<3},B={x|-3≤x≤2},求A∩B,(∁UA)∪ B,A∩(∁UB),∁U(A∪B). 解 如图. ∵A={x|-2<x<3},B={x|-3≤x≤2},U={x| x≤4}, ∴∁UA={x|x≤-2或3≤x≤4},∁UB={x|x<-3 或2<x≤4},A∪B={x|-3≤x<3}. ∴A∩B={x|-2<x≤2}, (∁UA)∪B={x|x≤2或3≤x≤4}, A∩(∁UB)={x|2<x<3}, ∁U(A∪B)={x|x<-3或3≤x≤4}. 探究三 补集中的含参问题 【例3】已知集合A={x|2a-2<x<a},B={x|1< x<2},且A⫋∁RB,求实数a的取值范围. 分析 求出∁RB,根据A⫋∁RB,列出不等式组,可求实 数a的取值范围. 解 ∁RB={x|x≤1或x≥2}≠⌀. ∵A⫋∁RB, ∴分A=⌀和A≠⌀两种情况讨论. 19
数学 必修 第一册 配人教B版 若A=心，则2a-2≥a,解得a2. 【变式训练】已知集合A={xlx<-6或x>3},B= {x|k一1x一1k}.若A∩B≠0，求实数k的取值范围 若A≠0，则 2a-2<a'或 2a-2<a, lasl 2a-2≥2， 解由已知可得B={xk≤x≤k十1. 解得a≤l. 若A∩B=0,则 k≥-6， 综上所述，a≤1或a≥2. k+1≤3， 飞反思感悟 解得一6≤k≤2. 1.已知元素与已知集合补集的关系，一般要转化 令P={k|-6≤k≤2}， 为元素与该集合的关系求解 则CP={k|k<-6或k>2. 2.已知补集之间的关系求参数的取值范围时，常 所以当A∩B≠⑦时，k的取值范图是<一6或k>2. 根据补集的定义及集合之间的关系，并借助数轴列出 参数应满足的关系式求解，具体操作时要注意端点值 随堂训练 的取舍， 1.设全集U=R,集合A={x1<x<4},集合B={x|2≤ 【变式训练3】已知全集U=R,集合A={x|一2≤ x<5},则A∩(CB)=( x≤5}，B={xla十1≤x≤2a-1},A二CB,求实数a的取 A.{xl1≤x<2) 值范围. B.(lr<2} 解若B=,此时CB=R,且A二CB,则a十1> C.{xlx≥5} D.{x|1<x<2} 2a-1,解得a<2. 若B≠0，则a十1≤2a-1,即a≥2， 解析CB={xx<2或x≥5}，A∩(GB)={x1<x<2}. 此时CuB={xlx<a十1或x>2a-1}. 答案D 如图， 2.已知集合A={x|x+1>0},B={-2,-1,0,1},则 (CRA)∩B=( 因为A二CB, A.{-2,-1} B.{-2} 所以a+1>5,解得a>4. C.{-1,0,1} D.{0,1} 所以实数a的取值范围为{a|a<2或a>4. 解析因为集合A={xx>一1}， 思想方法 所以CRA={x|x≤-1}， 应用补集思想解题 所以(CgA)∩B={xlx≤-1}∩{-2，-1,0,1}= {-2,-1. 【典例】已知关于x的方程x2-2x-(m-2)=0与 答案A 十mx十m计m十2=0，若这两个方程至少有一个方程 3.已知全集U={x1≤x≤5}，A={x1≤x<a}.若CA= 有实数解，求实数m的取值范围。 {x|2≤x≤5}，则a= 解若两个方程都没有实数解， 解析，A={x|1≤x<a},CA={x|2≤x≤5}，.AU △1=(-2)2+4(m-2)<0, (CA)=U={xl1≤x≤5}，且A∩(CA)=0,因此a=2. 则 :=m2-4(m2+m+2<0, 答案2 4.已知A,B均为集合U={1,3,5,7,9}的子集，且A∩B= 解得m, {3},(CB)∩A={9},则A= m>-2. 解析画出雏恩图，根据已知条件将元素填入图中，分析 即当一2<m<1时，两个方程都没有实数解。 求得集合A={3,9}. 故当m≤一2或m≥1时，两个方程至少有一个方程有 实数解 U 反思感悟 A93 B 1.补集的思想就是“正难则反”的思想，是指当某 一问题从正面解决较困难时，我们可以从其反面入手 解决 答案{3,9} 其思路为：已知全集U,求子集A,可先求CA,再 5.已知全集U={1,2,3,4,5},A={x|x2-5x+m=0}, 由Cu(CA)=A求A. B={xlx2+nx+12=0},且(CA)UB={1,3,4,5},求 2.常见问题：当题目条件中含有“至少”“至多”等 m十n的值 词语，且包含的情况较多时，为了避免分类讨论，我们 解U={1,2,3,4,5},(CA)UB={1,3,4,5}, 就可利用补集思想来求解，即从问题的对立面出发进 .2∈A. 行求解，最后取相应集合的补集即可， 又A={xlx2-5.x十m=0}, 20
数 学 必修 第一册 配人教B版 若A=⌀,则2a-2≥a,解得a≥2. 若A≠⌀,则 2a-2<a, a≤1 或 2a-2<a, 2a-2≥2, 解得a≤1. 综上所述,a≤1或a≥2. 1.已知元素与已知集合补集的关系,一般要转化 为元素与该集合的关系求解. 2.已知补集之间的关系求参数的取值范围时,常 根据补集的定义及集合之间的关系,并借助数轴列出 参数应满足的关系式求解,具体操作时要注意端点值 的取舍. 【变式训练3】已知全集U=R,集合A={x|-2≤ x≤5},B={x|a+1≤x≤2a-1},A⊆∁UB,求实数a 的取 值范围. 解 若B=⌀,此时∁UB=R,且A⊆∁UB,则a+1> 2a-1,解得a<2. 若B≠⌀,则a+1≤2a-1,即a≥2, 此时∁UB={x|x<a+1或x>2a-1}. 如图, 因为A⊆∁UB, 所以a+1>5,解得a>4. 所以实数a的取值范围为{a|a<2或a>4}. 思 想 方 法 应用补集思想解题 【典例】已知关于x 的方程x2-2x-(m-2)=0与 x2+mx+ 1 4 m2+m+2=0,若这两个方程至少有一个方程 有实数解,求实数m 的取值范围. 解 若两个方程都没有实数解, 则 Δ1=(-2)2+4(m-2)<0, Δ2=m2-4 1 4 m2+m+2 <0, 解得 m<1, m>-2. 即当-2<m<1时,两个方程都没有实数解. 故当m≤-2或m≥1时,两个方程至少有一个方程有 实数解. 1.补集的思想就是“正难则反”的思想,是指当某 一问题从正面解决较困难时,我们可以从其反面入手 解决. 其思路为:已知全集U,求子集A,可先求∁UA,再 由∁U(∁UA)=A 求A. 2.常见问题:当题目条件中含有“至少”“至多”等 词语,且包含的情况较多时,为了避免分类讨论,我们 就可利用补集思想来求解,即从问题的对立面出发进 行求解,最后取相应集合的补集即可. 【变式训练】已知集合A={x|x<-6或x>3},B= {x|k-1≤x-1≤k}.若A∩B≠⌀,求实数k的取值范围. 解 由已知可得B={x|k≤x≤k+1}. 若A∩B=⌀,则 k≥-6, k+1≤3, 解得-6≤k≤2. 令P={k|-6≤k≤2}, 则∁RP={k|k<-6或k>2}. 所以当A∩B≠⌀时,k的取值范围是k<-6或k>2. 随堂训练 1.设全集U=R,集合A={x|1<x<4},集合B={x|2≤ x<5},则A∩(∁UB)=( ) A.{x|1≤x<2} B.{x|x<2} C.{x|x≥5} D.{x|1<x<2} 解析 ∁UB={x|x<2或x≥5},A∩(∁UB)={x|1<x<2}. 答案 D 2.已知集合 A={x|x+1>0},B={-2,-1,0,1},则 (∁RA)∩B=( ) A.{-2,-1} B.{-2} C.{-1,0,1} D.{0,1} 解析 因为集合A={x|x>-1}, 所以∁RA={x|x≤-1}, 所以(∁RA)∩B={x|x≤-1}∩{-2,-1,0,1}= {-2,-1}. 答案 A 3.已知全集U={x|1≤x≤5},A={x|1≤x<a}.若∁UA= {x|2≤x≤5},则a= . 解析 ∵A={x|1≤x<a},∁UA={x|2≤x≤5},∴A∪ (∁UA)=U={x|1≤x≤5},且A∩(∁UA)=⌀,因此a=2. 答案 2 4.已知A,B 均为集合U={1,3,5,7,9}的子集,且A∩B= {3},(∁UB)∩A={9},则A= . 解析 画出维恩图,根据已知条件将元素填入图中,分析 求得集合A={3,9}. 答案 {3,9} 5.已知全集U={1,2,3,4,5},A={x|x2-5x+m=0}, B={x|x2+nx+12=0},且(∁UA)∪B={1,3,4,5},求 m+n的值. 解 ∵U={1,2,3,4,5},(∁UA)∪B={1,3,4,5}, ∴2∈A. 又A={x|x2-5x+m=0}, 20