第一章集合与常用逻辑用语 正解由P={xlx2+x-6=0},得P={-3,2. 解析M={-2,-1,0,1},R={-3,-2},S={0,1},从 当m=0时，方程x一1=0无解，此时Q=0,满足题意： 而S二M. 1 当m≠0时，方程mx一1=0的解为x= 时Q- 答案D 3.下列关系： OSP.. =一3或m=2,解得m= 1 或m= ①0∈{0}，②☑军{0}，③{0,1}≤{(0,1)}，④{(a,b)}= 2 {(b,a)》,其中正确的个数为 1 1 综上所述，实数m的值为0，一3或 解析①正确，0是集合{0}的元素：②正确，☑是任意非空 ①防范措施 集合的真子集：③错误，集合{0,1}含有两个元素0,1，而 1.解方程mx=1时，需两边同除以m,从而应讨 {(0,1)》含有一个元素(0,1)，所以这两个集合没关系： 论m是否为0. ④错误，集合{(a,b)}含一个元素点(a,b),集合{(b,a)} 2.涉及子集和真子集时，应注意空集这一特殊情况 含一个元素点(b,a),这两个元素不一定相同，所以集合 不一定相等 随堂训练 答案2 1.已知集合A={一1,0,1}，则A的子集中含有元素0的子 4.设集合A={x|1<x<2},B={xlx<a},若A二B,则实 集共有( 数a的取值范围是 A2个 B.4个 C.6个 D.8个 解析由A={x1<x<2},B={x|x<a,A二B,得 解析A的子集中含有元素0的子集有{0}，{0,1}，{0， a≥2 -1},{0,-1,1},共4个 答案{ala≥2} 答案B 5.已知集合A={(x,y)x十y=2,x,y∈N},试写出A的 所有子集. 2.已知集合M={x|-5<x<5,x∈Z},则下列集合是 集合M的子集的是( 解因为A={(xy)川x十y=2,xy∈N}, A.P={-3,0,1} 所以A={(0,2),(1,1),(2,0)1. B.Q={-1,0,1,2} 所以A的子集有⑦，{(0,2)}，{(1,1)》，{(2,0)} C.R={y∈Z-π<y<-1} {(02),(1,1)},{(0,2),(2,0)},{(1,1),(2,0)},{(0,2), D.S={x∈Nlxl≤3} (1,1),(2,0)} 课后 ·训练提升 基础·巩固 任何集合的真子集：④若心军A,则A≠心， 其中正确的个数是() 1.若集合A={2,-1},B={m2-m,-1},且A=B,则实 A.0 B.1 数m=( C.2 D.3 A.2 B.-1 C.2或-1D.4 解析①错，空集是任何集合的子集，则心二心；②错，如 解析A=B,∴m2-m=2,解得m=一1或2. 心只有一个子集；③错，室集不是自身的真子集；④正确， 答案C 因为空集是任何非空集合的真子集 2.已知集合A={x|x2-1=0},则( 答案B A.1EAB.0二AC.二AD.{0}二A 解析由已知，得A={1,一1}，所以选项A,B,D都错误： 5若集合M=女=+号keN==k+号 因为⑦是任何非室集合的真子集，所以C正确. k∈Z,则( ) 答案C A.M=N B.MCN C.NCM D.以上都不对 3.已知集合N={1,3,5},则集合N的真子集个数为( 解析，集合M中的元素满足： A.5 B.6 C.7 D.8 n十 3k=2m,n∈Z. 解析，集合N中有3个元素， 集合N中的 3 .集合N的真子集个数为23一1=7 n十 ,k=2m+1,n∈Z. 5 答案C 1 1 元素满足：x=k十 4.下列说法： 3=n十3，k=,n∈Z,∴NCM. ①空集没有子集：②任何集合至少有两个子集：③空集是 答案C 11
第一章 集合与常用逻辑用语 正解 由P={x|x2+x-6=0},得P={-3,2}. 当m=0时,方程mx-1=0无解,此时Q=⌀,满足题意; 当m≠0时,方程mx-1=0的解为x= 1 m ,此时Q= 1 m . ∵Q⊆P,∴ 1 m =-3或 1 m =2,解得m=- 1 3 或m= 1 2 . 综上所述,实数m 的值为0,- 1 3 或 1 2 . 1.解方程mx=1时,需两边同除以m,从而应讨 论m 是否为0. 2.涉及子集和真子集时,应注意空集这一特殊情况. 随堂训练 1.已知集合A={-1,0,1},则A 的子集中含有元素0的子 集共有( ) A.2个 B.4个 C.6个 D.8个 解析 A 的子集中含有元素0的子集有{0},{0,1},{0, -1},{0,-1,1},共4个. 答案 B 2.已知集合 M={x|- 5<x< 3,x∈Z},则下列集合是 集合M 的子集的是( ) A.P={-3,0,1} B.Q={-1,0,1,2} C.R={y∈Z|-π<y<-1} D.S={x∈N||x|≤ 3} 解析 M={-2,-1,0,1},R={-3,-2},S={0,1},从 而S⊆M. 答案 D 3.下列关系: ①0∈{0},②⌀⫋{0},③{0,1}⊆{(0,1)},④{(a,b)}= {(b,a)},其中正确的个数为 . 解析 ①正确,0是集合{0}的元素;②正确,⌀是任意非空 集合的真子集;③错误,集合{0,1}含有两个元素0,1,而 {(0,1)}含有一个元素(0,1),所以这两个集合没关系; ④错误,集合{(a,b)}含一个元素点(a,b),集合{(b,a)} 含一个元素点(b,a),这两个元素不一定相同,所以集合 不一定相等. 答案 2 4.设集合A={x|1<x<2},B={x|x<a},若A⊆B,则实 数a的取值范围是 . 解析 由A={x|1<x<2},B={x|x<a},A⊆B,得 a≥2. 答案 {a|a≥2} 5.已知集合A={(x,y)|x+y=2,x,y∈N},试写出A 的 所有子集. 解 因为A={(x,y)|x+y=2,x,y∈N}, 所以A={(0,2),(1,1),(2,0)}. 所以A 的子集有⌀,{(0,2)},{(1,1)},{(2,0)}, {(0,2),(1,1)},{(0,2),(2,0)},{(1,1),(2,0)},{(0,2), (1,1),(2,0)}. 课后 ·训练提升 基础 巩固 1.若集合A={2,-1},B={m2-m,-1},且A=B,则实 数m=( ) A.2 B.-1 C.2或-1 D.4 解析 ∵A=B,∴m2-m=2,解得m=-1或2. 答案 C 2.已知集合A={x|x2-1=0},则( ) A.1∉A B.0⊆A C.⌀⊆A D.{0}⊆A 解析 由已知,得A={1,-1},所以选项 A,B,D都错误; 因为⌀是任何非空集合的真子集,所以C正确. 答案 C 3.已知集合N={1,3,5},则集合N 的真子集个数为( ) A.5 B.6 C.7 D.8 解析 ∵集合N 中有3个元素, ∴集合N 的真子集个数为23-1=7. 答案 C 4.下列说法: ①空集没有子集;②任何集合至少有两个子集;③空集是 任何集合的真子集;④若⌀⫋A,则A≠⌀. 其中正确的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 解析 ①错,空集是任何集合的子集,则⌀⊆⌀;②错,如 ⌀只有一个子集;③错,空集不是自身的真子集;④正确, 因为空集是任何非空集合的真子集. 答案 B 5.若集合M= x x= k 2 + 1 3 ,k∈Z ,N= x x=k+ 1 3 , k∈Z ,则( ) A.M=N B.M⊆N C.N⊆M D.以上都不对 解析 ∵集合M 中的元素满足: x= k 2 + 1 3 = n+ 1 3 ,k=2n,n∈Z, n+ 5 6 ,k=2n+1,n∈Z, 集合N 中的 元素满足:x=k+ 1 3 =n+ 1 3 ,k=n,n∈Z,∴N⊆M. 答案 C 11
数学■ 必修第一册 配人教B版 6设a6∈k,集合06，合}=1，aa+61.则a+26= 拓展·提高 1.已知集合A满足{1,2}二A二{1,2,3,4}，则集合A的个 解析06，名}=1aa+61,而a≠0。 数为( A.8 B.2 C.3 D.4 a+h=0,b=1,a=a, b 解析由题意，得集合A可以是{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}， .b=1,a=-1,∴a+2b=1. {1,2,3,4} 答案1 答案D 7.已知集合A={x|1<x一1≤4}，B=(一∞，a),若A二B 2.设集合P={xly=x2},Q={(x,y)ly=x2},则P与Q 则实数a的取值范围是(c,十∞)，其中c= 的关系是() 解析A={x1<x-1≤4}=(2,5]，A二B,∴.5<a. A.P二QB.P2QC.P=QD.以上都不对 又a∈(c,十∞)，.c=5. 解析P为函数y=x2的自变量x的集合，这是一个数集 答案5 Q为函数y=x2的图象上的点的集合，这是一个点 8.已知集合A={x|1<x<6},B={xlx<a.若A二B,则 集，所以两个集合没有关系，故选D. a的取值范围为 答案D 解析因为A-{x1<x<6},B={x|x<a},A二B,所 3.已知集合A={x|ax2十2x十a=0,a∈R},若集合A有且 仅有2个子集，则实数a的取值是() 以结合数轴可知a≥6. A.1 B.-1C.0,1 D.-1,0,1 解析因为集合A有且仅有2个子集，所以A仅有一个 6 ax 元素，即方程ax2十2x十a=0(a∈R)仅有一个根. 答案{aa≥6} 当a=0时，方程化为2x=0,此时A={0},符合题 9.已知A={xlx<3},B={xlx<a. 意：当a≠0时，由△=22一4·a·a=0,即a2=1,解得 (1)若B二A,求a的取值范围： a=±1. (2)若A二B,求a的取值范围. 此时A={-1}或A={1},符合题意。 解(I)因为B二A,B是A的子集，由数轴得a≤3。 故a=0或a=士l. 答案D a 3 4.设集合M={2,0,x},集合N={0,1},若N二M,则x= (2)因为A二B,A是B的子集，由数轴得a≥3. 解析因为集合M={2,0,x},N={0,1},所以若N二 A☐B a末 M,则集合N中的元素均在集合M中，所以x=1, 10.已知集合A={x1lx-a|=4},集合B={1,2,b. 答案1 (1)是否存在实数a,使得对于任意实数b都有A二B? 5.已知集合A={y|y=x2-2x-6,x∈R},B={x|4x 若存在，求出对应的a值：若不存在，请说明理由. 7>5},则集合A与B的关系为 (2)若A二B成立，求出对应的实数对(a,b). 解析因为对于二次函数y=x2一2x一6，x∈R,ym= 解(1)对于任意实数b都有A二B,当且仅当集合A中 4X(-6)-4=-7,所以A={6ly≥-7}. 4 的元素为1,2. 又B={x|x>3},由数轴知B车A. A={a-4,a十4}， /a-4=1, /4=2. A 解方程组可知无解 B la+4=2, la+4=1, -7 3 ∴，不存在实数a,使得对于任意实数b都有A二B. 答案B车A (2)由)易知若ACB,则-4=1， la+4=b 6者三个津零且互不相等的实数a,6e满足日+名=名. 或/4=2， .a-4=b,a-4=b, 则称a,b,c是调和的；若满足a十c=2b,则称a,b,c是等 或 la+4=ba+4=1xa+4=2, 差的.若集合P中的元素a,b,c既是调和的，又是等差 的，则称集合P为好集”.若集合M={xI川x|≤2016， x∈Z},集合P={a,b,c}二M,则 故所求实数对为(5,9)或(6,10)或(-3，-7)或 (1)“好集”P中的元素的最大值为 (-2,-6). (2)“好集”P的个数为 12
数 学 必修 第一册 配人教B版 6.设a,b∈R,集合 0,b, b a ={1,a,a+b},则a+2b= . 解析 ∵ 0,b, b a ={1,a,a+b},而a≠0, ∴a+b=0,b=1, b a =a, ∴b=1,a=-1,∴a+2b=1. 答案 1 7.已知集合A={x|1<x-1≤4},B=(-∞,a),若A⊆B, 则实数a的取值范围是(c,+∞),其中c= . 解析 ∵A={x|1<x-1≤4}=(2,5],A⊆B,∴5<a. 又a∈(c,+∞),∴c=5. 答案 5 8.已知集合A={x|1<x<6},B={x|x<a}.若A⊆B,则 a的取值范围为 . 解析 因为A={x|1<x<6},B={x|x<a},A⊆B,所 以结合数轴可知a≥6. 答案 {a|a≥6} 9.已知A={x|x<3},B={x|x<a}. (1)若B⊆A,求a的取值范围; (2)若A⊆B,求a的取值范围. 解 (1)因为B⊆A,B 是A 的子集,由数轴得a≤3. (2)因为A⊆B,A 是B 的子集,由数轴得a≥3. 10.已知集合A={x||x-a|=4},集合B={1,2,b}. (1)是否存在实数a,使得对于任意实数b 都有A⊆B? 若存在,求出对应的a值;若不存在,请说明理由. (2)若A⊆B 成立,求出对应的实数对(a,b). 解 (1)对于任意实数b都有A⊆B,当且仅当集合A 中 的元素为1,2. ∵A={a-4,a+4}, ∴ a-4=1, a+4=2, 或 a-4=2, a+4=1, 解方程组可知无解. ∴不存在实数a,使得对于任意实数b都有A⊆B. (2)由(1)易知若A⊆B,则 a-4=1, a+4=b 或 a-4=2, a+4=b 或 a-4=b, a+4=1 或 a-4=b, a+4=2, 解得 a=5, b=9 或 a=6, b=10 或 a=-3, b=-7 或 a=-2, b=-6. 故所求实数对为(5,9)或(6,10)或(-3,-7)或 (-2,-6). 拓展 提高 1.已知集合A 满足{1,2}⊆A⊆{1,2,3,4},则集合A 的个 数为( ) A.8 B.2 C.3 D.4 解析 由题意,得集合A 可以是{1,2},{1,2,3},{1,2,4}, {1,2,3,4}. 答案 D 2.设集合P={x|y=x2},Q={(x,y)|y=x2},则P 与Q 的关系是( ) A.P⊆Q B.P⊇Q C.P=Q D.以上都不对 解析 P 为函数y=x2 的自变量x的集合,这是一个数集. Q 为函数y=x2 的图象上的点的集合,这是一个点 集,所以两个集合没有关系,故选D. 答案 D 3.已知集合A={x|ax2+2x+a=0,a∈R},若集合A 有且 仅有2个子集,则实数a的取值是( ) A.1 B.-1 C.0,1 D.-1,0,1 解析 因为集合A 有且仅有2个子集,所以A 仅有一个 元素,即方程ax2+2x+a=0(a∈R)仅有一个根. 当a=0时,方程化为2x=0,此时A={0},符合题 意;当a≠0时,由Δ=22-4·a·a=0,即a2=1,解得 a=±1. 此时A={-1}或A={1},符合题意. 故a=0或a=±1. 答案 D 4.设集合M={2,0,x},集合N={0,1},若N⊆M,则x= . 解析 因为集合 M ={2,0,x},N ={0,1},所以若 N⊆ M,则集合N 中的元素均在集合M 中,所以x=1. 答案 1 5.已知集合A={y|y=x2-2x-6,x∈R},B={x|4x- 7>5},则集合A 与B 的关系为 . 解析 因为对于二次函数y=x2-2x-6,x∈R,ymin= 4×(-6)-4 4 =-7,所以A={y|y≥-7}. 又B={x|x>3},由数轴知B⫋A. 答案 B⫋A 6.若三个非零且互不相等的实数a,b,c满足 1 a + 1 b = 2 c , 则称a,b,c是调和的;若满足a+c=2b,则称a,b,c是等 差的.若集合P 中的元素a,b,c 既是调和的,又是等差 的,则称集合P 为“好集”.若集合 M ={x||x|≤2016, x∈Z},集合P={a,b,c}⊆M,则 (1)“好集”P 中的元素的最大值为 ; (2)“好集”P 的个数为 . 12
第一章集合与常用逻辑用语 解折（日+合名，且a+(=必， a 挑战·创新 ∴.(a-b)(a+2b)=0, 已知集合A={x|ax2-3x-4=0},若B={-1,4},且 ∴a=b(舍去)或a=-2b A二B,求实数a的取值范围. .c=4b 解由ACB,且B={-1,4},得 令-2016≤4b≤2016，得-504≤b≤504， ∴.P中最大的元素为4b=4×504=2016. 当a=0时A-{人}车B,不合题意。 (2)由(1)知P={-2b,b,4b},且一504≤b≤504，故 “好集”P的个数为2×504=1008. 当a≠0时，若4=9+16a<0,即a<-9 ,则A= 答案(1)2016(2)1008 ,特合题意： 7.已知集合A={2,4,6,8,9},B={1,2,3,5,8},是否存在 若4=9+16a=0,即a=-8则A={←号}在B。 集合C,使C中每一个元素都加上2变成A的一个子集， 且C中每个元素都减去2就变成了B的一个子集？若存 不合题意： 在，求出集合C;若不存在，请说明理由. 若4=9十1a>0,即a>-是则方程ar2-8x 9 解假设存在满足条件的集合C 4=0的两根为一1和4， A中元素都减去2，得集合E={0,2,4,6,7. B中元素都加上2，得集合F={3,4,5,7,10. 所以一1十4=三，解得a=1,符合题意。 则集合C中的元素均在E,F中，因此满足条件的C 为{4}或{7}或{4,7}. 排上a的取值花国为a<一是或a=1 1.1.3 集合的基本运算 第1课时 交集、并集 1.理解两个集合的交集和并集的含义」 课标定位 2.会求两个简单集合的交集和并集 素养阐释 3.能使用维恩图表达集合的关系及运算 4.体会数学抽象的过程，培养直观想象、数学运算能力 课前 基础认知 一、交集 【问题思考】 图形语言（维恩图） A○B 1.在我们班中，由所有的共青团员组成集合A,由所有 A∩B 的“三好学生”组成集合B,由所有既是共青团员又是“三好 学生”的同学组成集合M,请问M与A,B有什么关系，M (2)A∩B表示由集合A,B按照指定的法则构造出一 又可看作由什么元素构成的？ 个新集合，因此“交”可以看成集合之间的一种运算，通常称 提示M二A,M二B.M可看作由A和B的所有公共 为交集运算。 元素构成的，集合M叫做A与B的交集。 (3)交集运算的性质： 2.填空： 对于任意两个集合A,B,都有： ①A∩B=B∩A:②A∩A=A:③A∩0=0∩A= 般地，给定两个集合A,B,由既 ②：④若A二B,则A∩B=A,反之也成立. 自然 属于A又属于B的所有元素（即A 3.空集0与自身的交集等于什么？ (1) 语言 →和B的公共元素)组成的集合，称 提示心. 为A与B的交集，记作A∩B,读 作“A交B” 4.做一做：设集合A={1,3,5,7},B={x|2≤x≤5}， 则A∩B=() A.1,3} B.{3,5} 符号语言高→A∩B={xx∈A,且x∈B} C.{5,7} D.{1,7} 答案B 13
第一章 集合与常用逻辑用语 解析 (1)∵ 1 a + 1 b = 2 c ,且a+c=2b, ∴(a-b)(a+2b)=0, ∴a=b(舍去)或a=-2b, ∴c=4b. 令-2016≤4b≤2016,得-504≤b≤504, ∴P 中最大的元素为4b=4×504=2016. (2)由(1)知P={-2b,b,4b},且-504≤b≤504,故 “好集”P 的个数为2×504=1008. 答案 (1)2016 (2)1008 7.已知集合A={2,4,6,8,9},B={1,2,3,5,8},是否存在 集合C,使C 中每一个元素都加上2变成A 的一个子集, 且C 中每个元素都减去2就变成了B 的一个子集? 若存 在,求出集合C;若不存在,请说明理由. 解 假设存在满足条件的集合C. A 中元素都减去2,得集合E={0,2,4,6,7}. B 中元素都加上2,得集合F={3,4,5,7,10}. 则集合C 中的元素均在E,F 中,因此满足条件的C 为{4}或{7}或{4,7}. 挑战 创新 已知集合A={x|ax2-3x-4=0},若B={-1,4},且 A⊆B,求实数a的取值范围. 解 由A⊆B,且B={-1,4},得 当a=0时,A= - 4 3 ⊈B,不合题意. 当a≠0时,若Δ=9+16a<0,即a<- 9 16 ,则A= ⌀,符合题意; 若Δ=9+16a=0,即a=- 9 16 ,则A= - 8 3 ⊈B, 不合题意; 若Δ=9+16a>0,即a>- 9 16 ,则方程ax2-3x- 4=0的两根为-1和4, 所以-1+4= 3 a ,解得a=1,符合题意. 综上,a的取值范围为a<- 9 16 或a=1. 1.1.3 集合的基本运算 第1课时 交集、并集 课标定位 素养阐释 1.理解两个集合的交集和并集的含义. 2.会求两个简单集合的交集和并集. 3.能使用维恩图表达集合的关系及运算. 4.体会数学抽象的过程,培养直观想象、数学运算能力. 课前 ·基础认知 一、交集 【问题思考】 1.在我们班中,由所有的共青团员组成集合A,由所有 的“三好学生”组成集合B,由所有既是共青团员又是“三好 学生”的同学组成集合 M,请问 M 与A,B 有什么关系,M 又可看作由什么元素构成的? 提示 M⊆A,M⊆B.M 可看作由A 和B 的所有公共 元素构成的,集合M 叫做A 与B 的交集. 2.填空: (1) 自然 语言 → 一般地,给定两个集合A,B,由既 属于A 又属于B 的所有元素(即A 和B 的公共元素)组成的集合,称 为A 与B 的交集,记作A∩B,读 作“A 交B” ↓ 符号语言 →A∩B={x|x∈A,且x∈B} ↓ 图形语言(维恩图)→ (2)A∩B 表示由集合A,B 按照指定的法则构造出一 个新集合,因此“交”可以看成集合之间的一种运算,通常称 为交集运算. (3)交集运算的性质: 对于任意两个集合A,B,都有: ①A∩B=B∩A;②A∩A=A;③A∩⌀=⌀∩A= ⌀;④若A⊆B,则A∩B=A,反之也成立. 3.空集⌀与自身的交集等于什么? 提示 ⌀. 4.做一做:设集合A={1,3,5,7},B={x|2≤x≤5}, 则A∩B=( ) A.{1,3} B.{3,5} C.{5,7} D.{1,7} 答案 B 13
数学 必修 第一册 配人教B版 二、并集 4.做一做：若A=(-1,2],B={x|x≥0}，则AUB= 【问题思考】 1.设集合A={x|x=2,n∈Z},B={x|x=2+1, 答案(-1，十∞) n∈Z},集合A,B与整数集Z有何关系？ 三、集合中元素的个数 提示A二Z,B二Z,把A,B的所有元素合在一起组成 【问题思考】 整数集Z,即AUB=Z. 1.设集合M={xx是歌唱组的成员}，N={x|x是舞 2.填空： 蹈组的成员}.若集合M中元素的个数card(M)=8,N中元 素的个数card(N)=6,既在M中又在N中的元素个数 一般地，给定两个集合A,B,由这 自然 card(M∩N)=4,请你计算出MUN中元素的个数 两个集合的所有元素组成的集合， (1) 语言 card(MUN). 称为A与B的并集，记作AUB, 读作“A并B” 提示card(MUN)=8+6-4=10. 2.填空：若有限集M所含元素的个数用card(M)表示， 并规定card(⑦)=0.设A,B为两个有限集，则card(AUB)= 符号语言AUB=〈zx∈A或x∈B) 答案card(A)+card(B)-card(A∩B) 【思考辨析】 图形语言（维恩图） 判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内画 AUB “√”，错误的画“×” (2)由集合A,B构造出AUB,通常称为并集运算. (1)两个集合的并集中元素的个数一定大于这两个集 (3)并集运算的性质： 合中元素个数之和。 (X) 对于任意两个集合A,B,都有： (2){1,2,3,4}U{0,2,3}={1,2,3,4,0,2,3. (×) ①AUB=BUA;②AUA=A:③AU0=0UA= (3)若AUB=A,则A二B. (×) A:④若A二B,则AUB=B,反之也成立 (4)两个集合的并集中元素的个数一定大于这两个集 3.“{0,1,2}U{1,3,5}={0,1,1,2,35}”对吗？为什么？ 合的交集中元素的个数 (X) 提示不对.因为集合中的元素具有互异性，所以两个 (⑤)存在集合A,B,使card(AUB)=card(A)+ card(B)成立. (√) 1归入一个集合后只能算一个元素，即{0,1,2}U{1,3,5}= {0,1,2,3,5 课堂 ·重难突破 延伸探究 探究一集合的交集、并集运算 在本例中，P∩Q= :AUZ= 【例1】(1)已知集合P={x|x<3},集合Q={x| 答案{x|-1≤x<3}{x|1≤x≤5或x∈Z -1≤x4},则PUQ=( 反思感悟 A.{x|-1≤x<3} B.{x|-1≤x≤4} 1.若集合中元素的个数有限，则直接根据并集的 C.{xlx≤4} D.{xlx≥-1} 定义求解，但要注意集合中元素的互异性 (2)设集合A={x|1≤x≤5}，Z为整数集，则集合A∩ 2.若集合中元素的个数无限，可借助数轴，利用数 Z中元素的个数是() 轴分析法求解，但要注意端点值的取舍。 A.6 B.5 C.4 D.3 3.求两个集合的交集时，要注意： 分析(1)欲求PUQ,只需将P,Q用数轴表示出来， (1)求交集就是求两个集合的所有公共元素组成 取它们的所有元素构成的集合，即得PUQ, 的集合 (2)用列举法表示{x∈Z1≤x≤5}即可. (2)若集合中元素的个数无限，则常借助数轴，把 解析(1)P={xlx<3},Q={x|-1≤x≤4}，如图， 集合表示在数轴上，利用交集的定义求解，这样处理比 PUQ={xlx≤4. 较形象直观。 P 34 【变式训练1】已知集合A={x2<x<4},B={xlx< (2)"A={x|1x5},Z为整数集 3或x>5},则A∩B= _,AUB= .A∩Z={x∈Zl1≤x≤5}={1,2,3,4,5}. 答案{x|2<x<3}{xx<4或x>5} 答案(1)C(2)B 14
数 学 必修 第一册 配人教B版 二、并集 【问题思考】 1.设集合A={x|x=2n,n∈Z},B={x|x=2n+1, n∈Z},集合A,B 与整数集Z有何关系? 提示 A⊆Z,B⊆Z,把A,B 的所有元素合在一起组成 整数集Z,即A∪B=Z. 2.填空: (1) 自然 语言 → 一般地,给定两个集合A,B,由这 两个集合的所有元素组成的集合, 称为A 与B 的并集,记作A∪B, 读作“A 并B” ↓ 符号语言 → A∪B={x|x∈A 或x∈B} ↓ 图形语言(维恩图)→ (2)由集合A,B 构造出A∪B,通常称为并集运算. (3)并集运算的性质: 对于任意两个集合A,B,都有: ①A∪B=B∪A;②A∪A=A;③A∪⌀=⌀∪A= A;④若A⊆B,则A∪B=B,反之也成立. 3.“{0,1,2}∪{1,3,5}={0,1,1,2,3,5}”对吗? 为什么? 提示 不对.因为集合中的元素具有互异性,所以两个 1归入一个集合后只能算一个元素,即{0,1,2}∪{1,3,5}= {0,1,2,3,5}. 4.做一做:若A=(-1,2],B={x|x≥0},则A∪B= . 答案 (-1,+∞) 三、集合中元素的个数 【问题思考】 1.设集合M={x|x 是歌唱组的成员},N={x|x 是舞 蹈组的成员}.若集合M 中元素的个数card(M)=8,N 中元 素的个数card(N)=6,既在 M 中又在N 中的元素个数 card(M ∩N )=4,请 你 计 算 出 M ∪N 中 元 素 的 个 数 card(M∪N). 提示 card(M∪N)=8+6-4=10. 2.填空:若有限集M 所含元素的个数用card(M)表示, 并规定card(⌀)=0.设A,B 为两个有限集,则card(A∪B)= . 答案 card(A)+card(B)-card(A∩B) 【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画 “√”,错误的画“×”. (1)两个集合的并集中元素的个数一定大于这两个集 合中元素个数之和. (×) (2){1,2,3,4}∪{0,2,3}={1,2,3,4,0,2,3}. (×) (3)若A∪B=A,则A⊆B. (×) (4)两个集合的并集中元素的个数一定大于这两个集 合的交集中元素的个数. (×) (5)存在集合 A,B,使 card(A ∪B)=card(A)+ card(B)成立. (√) 课堂 ·重难突破 探究一 集合的交集、并集运算 【例1】(1)已知集合 P={x|x<3},集合Q={x| -1≤x≤4},则P∪Q=( ) A.{x|-1≤x<3} B.{x|-1≤x≤4} C.{x|x≤4} D.{x|x≥-1} (2)设集合A={x|1≤x≤5},Z为整数集,则集合A∩ Z中元素的个数是( ) A.6 B.5 C.4 D.3 分析 (1)欲求P∪Q,只需将P,Q 用数轴表示出来, 取它们的所有元素构成的集合,即得P∪Q. (2)用列举法表示{x∈Z|1≤x≤5}即可. 解析 (1)P={x|x<3},Q={x|-1≤x≤4},如图, P∪Q={x|x≤4}. (2)∵A={x|1≤x≤5},Z为整数集, ∴A∩Z={x∈Z|1≤x≤5}={1,2,3,4,5}. 答案 (1)C (2)B 在本例中,P∩Q= ;A∪Z= . 答案 {x|-1≤x<3} {x|1≤x≤5或x∈Z} 1.若集合中元素的个数有限,则直接根据并集的 定义求解,但要注意集合中元素的互异性. 2.若集合中元素的个数无限,可借助数轴,利用数 轴分析法求解,但要注意端点值的取舍. 3.求两个集合的交集时,要注意: (1)求交集就是求两个集合的所有公共元素组成 的集合. (2)若集合中元素的个数无限,则常借助数轴,把 集合表示在数轴上,利用交集的定义求解,这样处理比 较形象直观. 【变式训练1】已知集合A={x|2<x<4},B={x|x< 3或x>5},则A∩B= ,A∪B= . 答案 {x|2<x<3} {x|x<4或x>5} 14
第一章集合与常用逻辑用语 【变式训练2】设集合A={xx2-3x十2=0}，B= 探究二并集、交集的运算性质及应用 {xx2-4x十a=0},若AUB=A,求实数a的取值集合. 【例2】设集合A={x|x2-3x十2=0，B={x|x2+ 解易得A={1,2. 2(a-1)x+a2-5=01. .AUB=A, (1)若A∩B={2},求实数a的值： ∴，B二A,故分B=⑦和B≠☑两种情况讨论 (2)若AUB=A,求实数a的取值范围. (1)当B=⑦时，方程x2一4x十a=0无实数根，则△= 分析(1)根据条件A∩B={2},得2∈B,建立方程即 16-4a0,解得a>4. 可求实数a的值 (2)当B≠⑦时，若△=0，则a=4,B={2}二A满足条件： (2)AUB=A等价于B二A,然后讨论B,即可求得实 当△>0时，若1,2是方程x2一4x十a=0的根，由根与 数a的取值范围. 系数的关系知矛盾，无解，所以a=4 解(1)由题可知A={x|x2-3x十2=0}={1,2. 综上，a的取值集合为{ala≥4}. :A∩B={2},2∈B,将2代入集合B中，得4十 探究三集合交、并运算中的参数问题 4(a-1)十a2-5=0,解得a=-5或a=1. 当a=-5时，集合B={2,10},符合题意： 【例3】已知集合A={xlx-2>3},B={x|2x-3> 当a=1时，集合B={2,一2}，符合题意. 3x-a}(a∈R),求AUB. 综上所述，a=-5或a=l. 分析化简A,B→讨论a的取值→求AUB (2)AUB=A,∴.BCA. A={1,2}, 解A={x|x-2>3}={xx>5}, .B=⑦或B={1}或{2}或{1,2} B={x|2x-3>3x-a}={xlx<a-3}. ①若B=0,则△=4(a-1)2-4(a2-5)=24- 当a-3≤5，即a≤8时，AUB={xlx<a-3或x>5}: 8a<0,解得a>3. 当a-3>5,即a>8时，AUB={x|x>5}U{x|x< 1△=24-8a=0. a-3}=R ②若B={1},则 2(a-1) 综上可知，当a≤8时，AUB={xlx<a-3或x>5}: x= 2 =1-a=1, 当a>8时，AUB=R 即/a3, 成立」 反思感悟 la=0, 只有明确集合中的元素是什么，才能进行集合的 △=24-8a=0, 运算. ③若B={2},则 2(a-1D=1-a=2 2 【变式训练3】设集合A={x|-1≤x<2},B={x 即a=3, x<a.若A∩B≠心，则实数a的取值范围是() A.-1<a≤2B.a>2C.a≥-1D.a>-1 1△=24-8a>0, 解析因为A∩B≠心，所以集合A,B有公共元素，将 ④若B={1,2},则{1+2=-2(a-1) A,B在数轴上表示出来，如图，易知a>一1. 1×2=a2-5, a<3, -1041 0 2 a 1 即a=一2，此时不成立，综上，a的取值范国为a>3. 答案D a=±7， 易错辨析 延伸探究 因忽视空集致错 若2∈(A∩B),求实数a的值. 【典例】若集合A={xlx2-2x-3=0},B={xlax- 解易知A={1,2. 2=0},且A∩B=B,求实数a的取值构成的集合C. ,2∈(A∩B),.2∈A,且2∈B, 错解A={-1,3},A∩B=B, ∴.22+2(a-1)X2十a2-5=0,解得a=-5或a=1. 经检验知a=一5和a=1都满足题意， ∴.B={-1}或B={3. ∴a=-5或a=1. 当B={-1}时，由-a-2=0,得a=一2： ①反思感悟 2 当B={3)时，由3a-2=0,得a=3 1.若条件中出现A∩B=A或AUB=B,应转化 为A二B,利用集合间的关系解决问题，但一定注意 故由实数a的取值构成的集合C为一2，号引}。 A=☑的情况. 以上解答过程中都有哪些错误？出错的原因是什么？ 2.利用集合的交集、并集求参数的值（范围）时，要 你如何改正？你如何防范？ 注意元素的互异性。 提示由A∩B=B,得B二A,则B可以是{-1}，{3} 15
第一章 集合与常用逻辑用语 探究二 并集、交集的运算性质及应用 【例2】设集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2+ 2(a-1)x+a2-5=0}. (1)若A∩B={2},求实数a的值; (2)若A∪B=A,求实数a的取值范围. 分析 (1)根据条件A∩B={2},得2∈B,建立方程即 可求实数a的值. (2)A∪B=A 等价于B⊆A,然后讨论B,即可求得实 数a的取值范围. 解 (1)由题可知A={x|x2-3x+2=0}={1,2}. ∵A∩B={2},∴2∈B,将2代入集合B 中,得4+ 4(a-1)+a2-5=0,解得a=-5或a=1. 当a=-5时,集合B={2,10},符合题意; 当a=1时,集合B={2,-2},符合题意. 综上所述,a=-5或a=1. (2)∵A∪B=A,∴B⊆A. ∵A={1,2}, ∴B=⌀或B={1}或{2}或{1,2}. ①若B= ⌀,则 Δ=4(a-1)2 -4(a2 -5)=24- 8a<0,解得a>3. ②若B={1},则 Δ=24-8a=0, x=- 2(a-1) 2 =1-a=1, 即 a=3, a=0, 不成立. ③若B={2},则 Δ=24-8a=0, x=- 2(a-1) 2 =1-a=2, 即 a=3, a=-1, 不成立, ④若B={1,2},则 Δ=24-8a>0, 1+2=-2(a-1), 1×2=a2-5, 即 a<3, a=- 1 2 , a=± 7, 此时不成立,综上,a的取值范围为a>3. 若2∈(A∩B),求实数a的值. 解 易知A={1,2}. ∵2∈(A∩B),∴2∈A,且2∈B, ∴22+2(a-1)×2+a2-5=0,解得a=-5或a=1. 经检验知a=-5和a=1都满足题意, ∴a=-5或a=1. 1.若条件中出现A∩B=A 或A∪B=B,应转化 为A⊆B,利用集合间的关系解决问题,但一定注意 A=⌀的情况. 2.利用集合的交集、并集求参数的值(范围)时,要 注意元素的互异性. 【变式训练2】设集合A={x|x2-3x+2=0},B= {x|x2-4x+a=0},若A∪B=A,求实数a的取值集合. 解 易得A={1,2}. ∵A∪B=A, ∴B⊆A,故分B=⌀和B≠⌀两种情况讨论. (1)当B=⌀时,方程x2-4x+a=0无实数根,则Δ= 16-4a<0,解得a>4. (2)当B≠⌀时,若Δ=0,则a=4,B={2}⊆A 满足条件; 当Δ>0时,若1,2是方程x2-4x+a=0的根,由根与 系数的关系知矛盾,无解,所以a=4. 综上,a的取值集合为{a|a≥4}. 探究三 集合交、并运算中的参数问题 【例3】已知集合A={x|x-2>3},B={x|2x-3> 3x-a}(a∈R),求A∪B. 分析 化简A,B → 讨论a的取值 → 求A∪B 解 A={x|x-2>3}={x|x>5}, B={x|2x-3>3x-a}={x|x<a-3}. 当a-3≤5,即a≤8时,A∪B={x|x<a-3或x>5}; 当a-3>5,即a>8时,A∪B={x|x>5}∪{x|x< a-3}=R. 综上可知,当a≤8时,A∪B={x|x<a-3或x>5}; 当a>8时,A∪B=R. 只有明确集合中的元素是什么,才能进行集合的 运算. 【变式训练3】设集合A={x|-1≤x<2},B={x| x<a}.若A∩B≠⌀,则实数a的取值范围是( ) A.-1<a≤2B.a>2 C.a≥-1 D.a>-1 解析 因为A∩B≠⌀,所以集合A,B 有公共元素,将 A,B 在数轴上表示出来,如图,易知a>-1. 答案 D 易 错 辨 析 因忽视空集致错 【典例】若集合A={x|x2-2x-3=0},B={x|ax- 2=0},且A∩B=B,求实数a的取值构成的集合C. 错解 ∵A={-1,3},A∩B=B, ∴B={-1}或B={3}. 当B={-1}时,由-a-2=0,得a=-2; 当B={3}时,由3a-2=0,得a= 2 3 . 故由实数a的取值构成的集合C 为 -2, 2 3 . 以上解答过程中都有哪些错误? 出错的原因是什么? 你如何改正? 你如何防范? 提示 由A∩B=B,得B⊆A,则B 可以是{-1},{3} 15