数学 必修第一册 配人教B版 具有性质p(x),而不属于集合A的元素都不具有这个性 (2)其他区间的表示 质，则性质p(x)称为集合A的一个特征性质.此时，集合A 可以用它的特征性质p(x)表示为{x|p(x)}.这种表示集合 定义 R {xlx≥a Axlx>aY {xlx≤a} 的方法，称为特征性质描述法，简称为描述法. 3.集合{x|x<10},{x∈R|x<10},{x|x∈R,x<10} 符号（一0，+∞）》 a,十o)》 (a,十∞) -0∞，a -∞，a） 有何关系？ 3.(1)只含有一个元素的集合，如{1}，能用区间表示吗？ 提示相等， (2)在区间(m,n]中，实数m,n的大小关系如何？ 4.做一做：用描述法表示不等式x十2>3的所有解组 提示(1)不能.(2)m<. 成的集合 4.用区间表示下列集合： 答案{xlx十2>3}. (1){xx<0)用区间表示为 三、区间及其表示 (2){x2≤x<5}用区间表示为 【问题思考】 答案(1)(-∞，0)(2)[2,5) 1.大于3，且不大于5的所有实数组成的集合如何表 【思考辨析】 示？你还有其他的表示方法吗？ 判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内画 提示{x|3<x≤5.也可用区间表示为(3,5]. “√”，错误的画“X”. 2.填表： (1)由1,1,2,3组成的集合可用列举法表示为1,1,2,3}. (1)区间概念(a,b为实数，且a<b) (×) 定义 名称 符号 数轴表示 (2)集合{(1,2)}中的元素是1和2 (X) {xla≤r≤b} 闭区间 Lab (3)集合A={xlx一1=0}与集合B={1}相等.（√） xla<x<b} 开区间 (a,b) 0 (4)有限集可以用列举法表示. () {x|a≤x<b半开半闭区间 La,b) (5)集合{1,2,3,4,5}用描述法表示为{x∈N+|x<6}. {x|a<xr≤b半开半闭区间 (ab] (/) 课堂 重难突破 飞反思感悟 探究一用列举法表示集合 用列举法表示集合应注意以下三点： (1)应先弄清集合中的元素是什么，是数还是点， 【例1】用列举法表示下列集合： 还是其他元素 (1)36与60的公约数组成的集合： (2)对于有限集中的元素一般要写全，但不能重复. (2)方程(x一4)2(x一2)=0的所有解组成的集合： （3-次函数y=一1与y=-号十号的图象的交 (3)若集合中的元素是点，则应将有序实数对用小 2 括号括起来表示一个元素。 点组成的集合. 【变式训练1】用列举法表示下列集合： 解(1)36与60的公约数有1,2,3,4,6,12，所求集合 (1)单词1ook中的字母组成的集合： 为{1,2,3,4,6,12} 12x-6>0, (2)不等式组 的所有整数解组成的 (2)方程(x-4)2(x-2)=0的解是x1=4,x2=2,所求 1+2x≥3x-5 集合为{4,2} 集合 7 解(1)因为集合中的元素具有互异性，所以lo0k中的 y=x-1, T= 5 (3)方程组 的解是 字母组成的集合为{1,0，k} y=- 3x+3 y 2x-6>0. 5 (2)由 得3<x6. 1+2x≥3x-5, 所求桑合为{（侣，）》。 因为x为整数，所以x的取值为4,5,6，组成的集合为 {4,5,6} 延伸探究 1)例1(3)中的集合可以表示为仔，号}吗： 探究二用描述法表示集合 (2)写出表示函数y=x一1与y=x十3的图象的交点 【例2】用描述法表示下列集合： 组成的集合 (1)被5除余数等于1的整数组成的集合： 解(1)不可以. (任}≠仔》. (2)平面直角坐标系中第三象限内的点组成的集合： (2)0. (3)抛物线y=x2+1上的所有点组成的集合， 6
数 学 必修 第一册 配人教B版 具有性质p(x),而不属于集合A 的元素都不具有这个性 质,则性质p(x)称为集合A 的一个特征性质.此时,集合A 可以用它的特征性质p(x)表示为{x|p(x)}.这种表示集合 的方法,称为特征性质描述法,简称为描述法. 3.集合{x|x<10},{x∈R|x<10},{x|x∈R,x<10} 有何关系? 提示 相等. 4.做一做:用描述法表示不等式x+2>3的所有解组 成的集合. 答案 {x|x+2>3}. 三、区间及其表示 【问题思考】 1.大于3,且不大于5的所有实数组成的集合如何表 示? 你还有其他的表示方法吗? 提示 {x|3<x≤5}.也可用区间表示为(3,5]. 2.填表: (1)区间概念(a,b为实数,且a<b) 定 义 名 称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a,b] {x|a<x<b} 开区间 (a,b) {x|a≤x<b}半开半闭区间 [a,b) {x|a<x≤b}半开半闭区间 (a,b] (2)其他区间的表示 定义 R {x|x≥a}{x|x>a}{x|x≤a}{x|x<a} 符号 (-∞,+∞)[a,+∞) (a,+∞) (-∞,a] (-∞,a) 3.(1)只含有一个元素的集合,如{1},能用区间表示吗? (2)在区间(m,n]中,实数m,n的大小关系如何? 提示 (1)不能.(2)m<n. 4.用区间表示下列集合: (1){x|x<0}用区间表示为 ; (2){x|2≤x<5}用区间表示为 . 答案 (1)(-∞,0) (2)[2,5) 【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画 “√”,错误的画“×”. (1)由1,1,2,3组成的集合可用列举法表示为{1,1,2,3}. (×) (2)集合{(1,2)}中的元素是1和2. (×) (3)集合A={x|x-1=0}与集合B={1}相等. (√) (4)有限集可以用列举法表示. (√) (5)集合{1,2,3,4,5}用描述法表示为{x∈N+|x<6}. (√) 课堂 ·重难突破 探究一 用列举法表示集合 【例1】用列举法表示下列集合: (1)36与60的公约数组成的集合; (2)方程(x-4)2(x-2)=0的所有解组成的集合; (3)一次函数y=x-1与y=- 2 3 x+ 4 3 的图象的交 点组成的集合. 解 (1)36与60的公约数有1,2,3,4,6,12,所求集合 为{1,2,3,4,6,12}. (2)方程(x-4)2(x-2)=0的解是x1=4,x2=2,所求 集合为{4,2}. (3)方程组 y=x-1, y=- 2 3 x+ 4 3 的解是 x= 7 5 , y= 2 5 , 所求集合为 7 5 , 2 5 . (1)例1(3)中的集合可以表示为 7 5 , 2 5 吗? (2)写出表示函数y=x-1与y=x+3的图象的交点 组成的集合. 解 (1)不可以. 7 5 , 2 5 ≠ 7 5 , 2 5 . (2)⌀. 用列举法表示集合应注意以下三点: (1)应先弄清集合中的元素是什么,是数还是点, 还是其他元素. (2)对于有限集中的元素一般要写全,但不能重复. (3)若集合中的元素是点,则应将有序实数对用小 括号括起来表示一个元素. 【变式训练1】用列举法表示下列集合: (1)单词look中的字母组成的集合; (2)不等式组 2x-6>0, 1+2x≥3x-5 的所有整数解组成的 集合. 解 (1)因为集合中的元素具有互异性,所以look中的 字母组成的集合为{l,o,k}. (2)由 2x-6>0, 1+2x≥3x-5, 得3<x≤6. 因为x 为整数,所以x 的取值为4,5,6,组成的集合为 {4,5,6}. 探究二 用描述法表示集合 【例2】用描述法表示下列集合: (1)被5除余数等于1的整数组成的集合; (2)平面直角坐标系中第三象限内的点组成的集合; (3)抛物线y=x2+1上的所有点组成的集合. 6
第一章集合与常用逻辑用语 分析集合中元素的特徊元素满足的条件→写出集合 易错辨析 解(1){xlx=5m+1,n∈Z} 认为集合中的字母具有一致性致错 (2){(x,y)川x<0,且y<0}. 【典例】已知集合A={x|x=2a,a∈Z,B={xlx= (3){(x,y)ly=x2+1. 2a+1,a∈Z},C={x|x=4a十1，a∈Z.若m∈A,n∈B, 延伸探究 则( 下面三个集合： A.m十n∈A ①{xly=x2+1}:②{yly=x2+1}:③{(x,y)ly= B.m+n∈B x2+1. C.m十n∈C (1)它们各自的含义是什么？ D.m十n不属于A,B,C中的任意一个 (2)它们是不是相同的集合？ 错解C 解(1)集合①{x|y=x2+1}的代表元素是x,满足条 以上解答过程中都有哪些错误？出错的原因是什么？ 件y=x2+1中的x∈R,所以实质上{xly=x2+1}=R: 你如何改正？你如何防范？ 集合②的代表元素是y,满足条件y=x2十1的y的取 提示不能正确利用集合中元素的特征性质，认为三个 值范围是y≥1，所以实质上{yy=x2+1}={y|y≥1}： 集合中的a是一致的，从而由m∈A,得m=2a,a∈Z.由 集合③{(x,y)y=x2十1}的代表元素是(x,y),可以 n∈B,得n=2a十1，a∈Z.所以得到m十n=4a十1，a∈Z 认为是满足y=x2十1的数对(x,y)的集合，也可以认为是 进而错误判断m十n∈C.而实际上，三个集合中的a是不一 坐标平面内的点(x,y)构成的集合，且这些点的坐标满足 致的.应由m∈A,设m=2a1,a1∈Z.由n∈B,设n=2a2十 y=x2+1,所以{(x,y)ly=x2+1}={P|P是抛物线y= 1,a2∈Z.所以m十n=2(a1十a2)十1，且a1十a2∈Z,所以 x2十1上的点}. m十n∈B,故正确答案为B. (2)由(1)中三个集合各自的含义知，它们不是相同的 正解B 集合」 ①反思感悟 金防范措施 在分析集合中元素的关系时，一定要注意字母各 用描述法表示集合应注意以下三点： 自取值的独立性，并要注意用不同的字母来区分，否则 (1)写清集合代表元素的符号. 易引起错误。 (2)所有描述的内容都要写在大括号内。 (3)不能出现未被说明的字母。 随堂训练 【变式训练2】用描述法表示下列集合： 1.用列举法表示大于2，且小于5的自然数组成的集合应为 (1)数轴上与原点的距离大于3的点组成的集合： ( (2)平面直角坐标系中第二、第四象限内的点组成的 A.{3,4} B.A={2,3,4,5} 集合. C.{2<x<5} D.{x|2<x<5} 解(1)数轴上与原点的距离大于3的点组成的集合， 答案A 用描述法可表示为{x|川x|>3}. 2.已知集合A={1,2,3,4,5},B={(x,y)|x∈A,y∈A, (2)平面直角坐标系中第二、第四象限内的点组成的集 x-y∈A},则集合B中所含元素的个数为() 合，用描述法可表示为{(x,y)xy<0. A.3 B.6 C.8 D.10 探究三用区间表示集合 解析由题意，得x=2,y=1:x=3,y=1,2:x=4,y=1, 2,3:x=5,y=1,2,3,4. 【例3】用区间表示下列集合： 故B中有10个元素. (1){x|2<x≤8}： 答案D (2){yly>5. 3.若集合A={一2,2,3,4}，B={x|x=t2,t∈A},用列举 解(1)(2,8]. 法表示集合B= (2)(5,+∞). 答案{4,9,16 ①反思感悟 4.在区间[一a,3a]上，实数a满足的条件是 在区间(m,n)内，一定有m<n 解析由3a>-a,得a>0. 【变式训练3】用区间表示下列集合： 答案a>0 (1)R:(2){xx≤-3}. 5.用适当的方法表示下列集合： 答案(1)(-∞，十∞) (1)绝对值不大于3的整数组成的集合： (2)(-∞，-3] (2)二次函数y=一3.x2+2x十4的函数值组成的集合：
第一章 集合与常用逻辑用语 分析 集合中元素的特征 → 元素满足的条件 → 写出集合 解 (1){x|x=5n+1,n∈Z}. (2){(x,y)|x<0,且y<0}. (3){(x,y)|y=x2+1}. 下面三个集合: ①{x|y=x2+1};②{y|y=x2+1};③{(x,y)|y= x2+1}. (1)它们各自的含义是什么? (2)它们是不是相同的集合? 解 (1)集合①{x|y=x2+1}的代表元素是x,满足条 件y=x2+1中的x∈R,所以实质上{x|y=x2+1}=R; 集合②的代表元素是y,满足条件y=x2+1的y 的取 值范围是y≥1,所以实质上{y|y=x2+1}={y|y≥1}; 集合③{(x,y)|y=x2+1}的代表元素是(x,y),可以 认为是满足y=x2+1的数对(x,y)的集合,也可以认为是 坐标平面内的点(x,y)构成的集合,且这些点的坐标满足 y=x2+1,所以{(x,y)|y=x2+1}={P|P 是抛物线y= x2+1上的点}. (2)由(1)中三个集合各自的含义知,它们不是相同的 集合. 用描述法表示集合应注意以下三点: (1)写清集合代表元素的符号. (2)所有描述的内容都要写在大括号内. (3)不能出现未被说明的字母. 【变式训练2】用描述法表示下列集合: (1)数轴上与原点的距离大于3的点组成的集合; (2)平面直角坐标系中第二、第四象限内的点组成的 集合. 解 (1)数轴上与原点的距离大于3的点组成的集合, 用描述法可表示为{x||x|>3}. (2)平面直角坐标系中第二、第四象限内的点组成的集 合,用描述法可表示为{(x,y)|xy<0}. 探究三 用区间表示集合 【例3】用区间表示下列集合: (1){x|2<x≤8}; (2){y|y>5}. 解 (1)(2,8]. (2)(5,+∞). 在区间(m,n)内,一定有m<n. 【变式训练3】用区间表示下列集合: (1)R;(2){x|x≤-3}. 答案 (1)(-∞,+∞). (2)(-∞,-3]. 易 错 辨 析 认为集合中的字母具有一致性致错 【典例】已知集合A={x|x=2a,a∈Z},B={x|x= 2a+1,a∈Z},C={x|x=4a+1,a∈Z}.若m∈A,n∈B, 则( ) A.m+n∈A B.m+n∈B C.m+n∈C D.m+n不属于A,B,C 中的任意一个 错解 C 以上解答过程中都有哪些错误? 出错的原因是什么? 你如何改正? 你如何防范? 提示 不能正确利用集合中元素的特征性质,认为三个 集合中的a 是一致的,从而由m∈A,得m=2a,a∈Z.由 n∈B,得n=2a+1,a∈Z.所以得到m+n=4a+1,a∈Z. 进而错误判断m+n∈C.而实际上,三个集合中的a是不一 致的.应由m∈A,设m=2a1,a1∈Z.由n∈B,设n=2a2+ 1,a2∈Z.所以m+n=2(a1+a2)+1,且a1+a2∈Z,所以 m+n∈B,故正确答案为B. 正解 B 在分析集合中元素的关系时,一定要注意字母各 自取值的独立性,并要注意用不同的字母来区分,否则 易引起错误. 随堂训练 1.用列举法表示大于2,且小于5的自然数组成的集合应为 ( ) A.{3,4} B.A={2,3,4,5} C.{2<x<5} D.{x|2<x<5} 答案 A 2.已知集合A={1,2,3,4,5},B={(x,y)|x∈A,y∈A, x-y∈A},则集合B 中所含元素的个数为( ) A.3 B.6 C.8 D.10 解析 由题意,得x=2,y=1;x=3,y=1,2;x=4,y=1, 2,3;x=5,y=1,2,3,4. 故B 中有10个元素. 答案 D 3.若集合A={-2,2,3,4},B={x|x=t2,t∈A},用列举 法表示集合B= . 答案 {4,9,16} 4.在区间[-a,3a]上,实数a满足的条件是 . 解析 由3a>-a,得a>0. 答案 a>0 5.用适当的方法表示下列集合: (1)绝对值不大于3的整数组成的集合; (2)二次函数y=-3x2+2x+4的函数值组成的集合; 7
数学 必修 第一册 配人教B版 (3)所有的正方形组成的集合 (2)二次函数y=一3x2十2x十4的函数值有无数个， 解(1)绝对值不大于3的整数是-3，-2，-1,0,1,2,3， 用描述法表示为{yly=-3x2十2x十4. 共有7个，则用列举法表示为{-3，-2，一1,0,1,2,3. (3){x|x是正方形} 课后·训练提升 1.已知集合A={yly=x+1,x∈R},集合B={(x,y) 图为2k+1(k∈Z)是一个奇数，k十2(k∈Z)是一个 y=x十1，x∈R,y∈R,则下列判断正确的是( 整数，所以若xo∈M时，则一定有xo∈N.故选A A.2∈A,且2∈B B.(1,2)∈A,且(1,2)∈B 答案A C.2∈A,且(3,4)∈B D.(3,4)∈A,且2∈B 5.已知非空数集A={x∈R|x2=a},则实数a的取值范围 解析集合A中的元素y是实数，不是点，故选项B,D错 为」 (用区间表示) 误：集合B中的元素(x,y)是点，而不是实数，2∈B不正 解析，x∈R,∴a=x2≥0. 确，故A错误.故选C ∴a∈「0.十∞). 答案C 答案[0，十∞) 2.下列说法正确的是() 6.若-5∈{xx2-a.x-5=0},则集合{x|x2-4x-a=0} ①0与{0}表示同一个集合：②由1,2,3组成的集合可表 中所有元素之和为 示为{1,2,3}或{3,2,1}：③方程(x-1)2(x-2)=0的所 解析因为-5∈{xlx2-ax-5=0},所以a=-4,方程 有解的集合可表示为{1,1,2}：④集合{x|4<x<5}可以 x2-4x十4=0的解为x1=x2=2. 用列举法表示. 故集合{xlx2-4x-a=0}中所有元素之和为2. A.只有①和④ B.只有②和③ C.只有② D.以上说法都不对 答案2 解析①中“0”不能表示集合，而“{0}”可以表示集合：根 7设集合B=∈N2=∈N 据集合中元素的无序性可知②正确；根据集合元素的互异 (1)试判断元素1,2与集合B的关系； 性可知③错误：④不能用列举法表示，原因是该集合有无 (2)用列举法表示集合B. 数个元素，不能一一列举 6 答案C 解(1)当x=1时2十=2eN: 3现定义一种运算⑧，当m,n都是正偶数或都是正奇数时， 63 m⑧m=m十n;当m,n中一个为正奇数，另一个为正偶数 当x=2时2十22N,所以1EB,2EB. 时，m☒m=m.则集合M={(a,b)|ab=16,a∈N+, 2)由22EN,x∈N,得x=0,1,4 b∈N+}中元素的个数为() 故B={0,1,4. A.22 B.20 C.17 D.15 8.已知集合A={a十2，(a+1)2,a2+3a十3}，若1∈A,求 解析①当m,n都是正偶数时，(a,b)可以是(2,14)，(4， 实数a的所有可能取值构成的集合B. 12),(6,10),(8,8),(14,2),(12,4),(10,6),共7个； 解若a十2=1，则a=-1,代入集合A, 当m,n都是正奇数时，(a,b)可以是(1,15)， 得A={1,0,1},与集合元素的互异性矛盾： (3,13),(5,11),(7,9),(9,7),(11,5),(13,3),(15,1),共 8个： 若(a十1)2=1，则a=0或一2，代入集合A, 得A={2,1,3}或A={0,1,1},后者与集合元素的 ②当m,n中一个为正奇数，一个为正偶数时，(a,b) 互异性矛盾，故a=0符合要求； 可以是(1,16)，(16,1)，共2个. 若a2+3a十3=1，则a=-1或-2，代入集合A,得 所以集合M中元素的个数为17 A={1,0,1}或{0,1,1}，都与集合元素的互异性矛盾. 答案C 综上可知，只有α=0符合要求，即集合B中只有 4已知集合M=-登+k∈zN== 个元素，故B={0. 9.若集合A={x|x=3m+1,n∈Z},B={x|x=3m十2，n∈ 2k∈2，若∈M,则，与N的关系是( Z},M={x|x=6m+3,n∈Z}.若m∈M,问是否存在 A.xa∈N a∈A,b∈B,使m=a十b? B.roN C.xo∈N或xo任N D.无法判断 解设m=6k+3=(3k+1)+(3k+2)(k∈Z), 解折由题意，得M==2年k∈2N 令a=3k十1，b=3k十2，则m=a十b. 由k∈Z,知a∈A,b∈B. {生e或 故若m∈M,则存在a∈A,b∈B,使m=a十b 8
数 学 必修 第一册 配人教B版 (3)所有的正方形组成的集合. 解 (1)绝对值不大于3的整数是-3,-2,-1,0,1,2,3, 共有7个,则用列举法表示为{-3,-2,-1,0,1,2,3}. (2)二次函数y=-3x2+2x+4的函数值有无数个, 用描述法表示为{y|y=-3x2+2x+4}. (3){x|x 是正方形}. 课后 ·训练提升 1.已知集合A={y|y=x+1,x∈R},集合B={(x,y)| y=x+1,x∈R,y∈R},则下列判断正确的是( ) A.2∈A,且2∈B B.(1,2)∈A,且(1,2)∈B C.2∈A,且(3,4)∈B D.(3,4)∈A,且2∈B 解析 集合A 中的元素y是实数,不是点,故选项B,D错 误;集合B 中的元素(x,y)是点,而不是实数,2∈B 不正 确,故 A错误.故选C. 答案 C 2.下列说法正确的是( ) ①0与{0}表示同一个集合;②由1,2,3组成的集合可表 示为{1,2,3}或{3,2,1};③方程(x-1)2(x-2)=0的所 有解的集合可表示为{1,1,2};④集合{x|4<x<5}可以 用列举法表示. A.只有①和④ B.只有②和③ C.只有② D.以上说法都不对 解析 ①中“0”不能表示集合,而“{0}”可以表示集合;根 据集合中元素的无序性可知②正确;根据集合元素的互异 性可知③错误;④不能用列举法表示,原因是该集合有无 数个元素,不能一一列举. 答案 C 3.现定义一种运算,当m,n都是正偶数或都是正奇数时, mn=m+n;当m,n中一个为正奇数,另一个为正偶数 时,mn=mn.则集合 M ={(a,b)|ab=16,a∈N+ , b∈N+ }中元素的个数为( ) A.22 B.20 C.17 D.15 解析 ①当m,n都是正偶数时,(a,b)可以是(2,14),(4, 12),(6,10),(8,8),(14,2),(12,4),(10,6),共7个; 当m,n 都 是 正 奇 数 时,(a,b)可 以 是 (1,15), (3,13),(5,11),(7,9),(9,7),(11,5),(13,3),(15,1),共 8个; ②当m,n中一个为正奇数,一个为正偶数时,(a,b) 可以是(1,16),(16,1),共2个. 所以集合M 中元素的个数为17. 答案 C 4.已知集合M= x x= k 2 + 1 4 ,k∈Z ,N= x x= k 4 + 1 2 ,k∈Z ,若x0∈M,则x0 与N 的关系是( ) A.x0∈N B.x0∉N C.x0∈N 或x0∉N D.无法判断 解析 由 题 意,得 M = x x= 2k+1 4 ,k∈Z ,N = x x= k+2 4 ,k∈Z . 因为2k+1(k∈Z)是一个奇数,k+2(k∈Z)是一个 整数,所以若x0∈M 时,则一定有x0∈N.故选 A. 答案 A 5.已知非空数集A={x∈R|x2=a},则实数a 的取值范围 为 .(用区间表示) 解析 ∵x∈R,∴a=x2≥0. ∴a∈[0,+∞). 答案 [0,+∞) 6.若-5∈{x|x2-ax-5=0},则集合{x|x2-4x-a=0} 中所有元素之和为 . 解析 因为-5∈{x|x2-ax-5=0},所以a=-4,方程 x2-4x+4=0的解为x1=x2=2. 故集合{x|x2-4x-a=0}中所有元素之和为2. 答案 2 7.设集合B= x∈N 6 2+x ∈N . (1)试判断元素1,2与集合B 的关系; (2)用列举法表示集合B. 解 (1)当x=1时, 6 2+1 =2∈N; 当x=2时, 6 2+2 = 3 2 ∉N,所以1∈B,2∉B. (2)由 6 2+x ∈N,x∈N,得x=0,1,4. 故B={0,1,4}. 8.已知集合A={a+2,(a+1)2,a2+3a+3},若1∈A,求 实数a的所有可能取值构成的集合B. 解 若a+2=1,则a=-1,代入集合A, 得A={1,0,1},与集合元素的互异性矛盾; 若(a+1)2=1,则a=0或-2,代入集合A, 得A={2,1,3}或A={0,1,1},后者与集合元素的 互异性矛盾,故a=0符合要求; 若a2+3a+3=1,则a=-1或-2,代入集合A,得 A={1,0,1}或{0,1,1},都与集合元素的互异性矛盾. 综上可知,只有a=0符合要求,即集合B 中只有一 个元素,故B={0}. 9.若集合A={x|x=3n+1,n∈Z},B={x|x=3n+2,n∈ Z},M ={x|x=6n+3,n∈Z}.若 m∈M,问是否存在 a∈A,b∈B,使m=a+b? 解 设m=6k+3=(3k+1)+(3k+2)(k∈Z), 令a=3k+1,b=3k+2,则m=a+b. 由k∈Z,知a∈A,b∈B. 故若m∈M,则存在a∈A,b∈B,使m=a+b. 8
第一章集合与常用逻辑用语 1.1.2集合的基本关系 1,理解集合之间的包含与相等的含义： 课标定位 2.能识别给定集合的子集、真子集，会判断集合之间的关系， 素养阐释 3.在具体情境中，了解空集的含义并会应用。 4.注重逻辑推理能力的培养 课前 基础认知 一、子集 示意图通常称为维恩图 【问题思考】 3.(1)集合A是不是其自身的真子集？ 根据给出的每组集合，回答问题 (2)空集0是不是任意集合的真子集？ (1)A={0,1},B={-1,0,1}: (3)若AB,BC,则A与C有什么关系？ (2)A={xx是正方形}，B={x|x是有一个角为直角 提示(1)A不是其自身的真子集. 的菱形}」 (2)⑦是任意非空集合的真子集」 1.以上各组集合中，集合A的元素是否都是集合B的 (3)AC. 元素？ 4.指出下列各组集合之间的关系： 提示是 (1)A={(-1,1)},B={(-1,-1),(-1,1),(1,-1), 2.你认为集合A和集合B之间有怎样的关系？ (1,1)}: 提示A是B的子集，即A二B. (2)A={x|x是等边三角形}，B={x|x是等腰三 3.填空：一般地，如果集合A的任意一个元素都是集合 角形}： B的元素，那么集合A称为集合B的子集，记作A二B(或 (3)A={x|-1<x<4},B={xlx-5<0}: B已A),读作“A包含于B”(或“B包含A”).对应地，如果A (4)M={xlx=2n-1,n∈N+},N={xlx=2+1. 不是B的子集，则记作A生B(或B卫A),读作“A不包含于 n∈N+. B”(或“B不包含A”).规定：空集是任意一个集合A的子 解(1)AB. 集，即二A. (2)A全B. 4.(1)任意集合是其自身的子集吗？ (3)AB. (2)若A二B,B二C,则A与C是什么关系？ (4)N至M. 提示(1)是.(2)A二C 三、集合相等与子集的关系 5.做一做：集合{0}的子集有」 【问题思考】 答案0，{0} 1.若集合A={x|(x一5)(x十3)=0}，B={一3.5}，则 二、真子集 A与B是什么关系？ 【问题思考】 提示A={-3,5},A=B. 1.观察下面两个例子，你能发现两个集合间有什么关系吗？ 2.在上题中，集合A是B的子集吗？反之呢？ (1)A={1,2,3},B={1,2,3,4,5}: 提示A二B,B二A. (2)设A为新华中学高一(2)班全体女生组成的集合， 3.填空： B为这个班全体学生组成的集合 一般地，由集合相等以及子集的定义可知： 提示A二B,且B中有些元素不属于A. (1)如果A二B,且B二A,则A=B 2.(1)填表： (2)如果A=B,则A二B,且B二A. 项目 定 义 符号语言图形语言（维恩图） 【思考辨析】 般地，如果集合A是集 判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内画 真 合B的子集，并且B中至 “√/”，错误的画“X” AB 子 少有一个元耋不属于A B④ (1)“∈”“二”的意义是一样的. (X) (或B军A 集 那么集合A称为集合B (2)若x∈A,一定有x∈B成立，则A二B (N) 的真子集 (3)若A二B,则A中的元素都在B中. (N) (4)0二{01. (2)如果用平面上一条封闭曲线的内部来表示集合，那 (W) (5)若A二B,且B二A,则必有A=B. (√) 么我们就可作出示意图来形象地表示集合之间的关系，这种 9
第一章 集合与常用逻辑用语 1.1.2 集合的基本关系 课标定位 素养阐释 1.理解集合之间的包含与相等的含义. 2.能识别给定集合的子集、真子集,会判断集合之间的关系. 3.在具体情境中,了解空集的含义并会应用. 4.注重逻辑推理能力的培养. 课前 ·基础认知 一、子集 【问题思考】 根据给出的每组集合,回答问题. (1)A={0,1},B={-1,0,1}; (2)A={x|x 是正方形},B={x|x 是有一个角为直角 的菱形}. 1.以上各组集合中,集合A 的元素是否都是集合B 的 元素? 提示 是. 2.你认为集合A 和集合B 之间有怎样的关系? 提示 A 是B 的子集,即A⊆B. 3.填空:一般地,如果集合A 的任意一个元素都是集合 B 的元素,那么集合A 称为集合B 的子集,记作A⊆B(或 B⊇A),读作“A 包含于B”(或“B 包含A”).对应地,如果A 不是B 的子集,则记作A⊈B(或B⊉A),读作“A 不包含于 B”(或“B 不包含A”).规定:空集是任意一个集合A 的子 集,即⌀⊆A. 4.(1)任意集合是其自身的子集吗? (2)若A⊆B,B⊆C,则A 与C 是什么关系? 提示 (1)是.(2)A⊆C. 5.做一做:集合{0}的子集有 . 答案 ⌀,{0} 二、真子集 【问题思考】 1.观察下面两个例子,你能发现两个集合间有什么关系吗? (1)A={1,2,3},B={1,2,3,4,5}; (2)设A 为新华中学高一(2)班全体女生组成的集合, B 为这个班全体学生组成的集合. 提示 A⊆B,且B 中有些元素不属于A. 2.(1)填表: 项目 定 义 符号语言 图形语言(维恩图) 真 子 集 一般地,如果集合A 是集 合B 的子集,并且B 中至 少有一个元素不属于A, 那么集合 A 称为集合B 的真子集 A⫋B (或B⫌A) (2)如果用平面上一条封闭曲线的内部来表示集合,那 么我们就可作出示意图来形象地表示集合之间的关系,这种 示意图通常称为维恩图. 3.(1)集合A 是不是其自身的真子集? (2)空集⌀是不是任意集合的真子集? (3)若A⫋B,B⫋C,则A 与C 有什么关系? 提示 (1)A 不是其自身的真子集. (2)⌀是任意非空集合的真子集. (3)A⫋C. 4.指出下列各组集合之间的关系: (1)A={(-1,1)},B={(-1,-1),(-1,1),(1,-1), (1,1)}; (2)A={x|x 是等边三角形},B={x|x 是等腰三 角形}; (3)A={x|-1<x<4},B={x|x-5<0}; (4)M={x|x=2n-1,n∈N+ },N={x|x=2n+1, n∈N+ }. 解 (1)A⫋B. (2)A⫋B. (3)A⫋B. (4)N⫋M. 三、集合相等与子集的关系 【问题思考】 1.若集合A={x|(x-5)(x+3)=0},B={-3,5},则 A 与B 是什么关系? 提示 A={-3,5},A=B. 2.在上题中,集合A 是B 的子集吗? 反之呢? 提示 A⊆B,B⊆A. 3.填空: 一般地,由集合相等以及子集的定义可知: (1)如果A⊆B,且B⊆A,则A=B. (2)如果A=B,则A⊆B,且B⊆A. 【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画 “√”,错误的画“×”. (1)“∈”“⊆”的意义是一样的. (×) (2)若x∈A,一定有x∈B 成立,则A⊆B. (√) (3)若A⊆B,则A 中的元素都在B 中. (√) (4)⌀⊆{0}. (√) (5)若A⊆B,且B⊆A,则必有A=B. (√) 9
数学 必修第一册 配人教B版 课堂 ·重难突破 解析因为A={4,a},B={2,ab},A=B, 探究一 子集、真子集 4=ab, a=2, 所以 所以a十b=4. 【例1】写出集合{0,1}的所有子集和真子集】 a=2. 解得b=2, 分析根据子集、真子集的定义求解。 答案4 解子集有0，{0}，{1}，{0,1}，其中真子集有0，{0}，{1. 探究三由集合间的关系求参数 延伸探究 (1)若集合A={x|x二{0,1}，试用列举法表示集合A. 【例3】已知集合A={x|-3≤x≤4}，B={x|2m 解A={0,{0},{1},{0,1. 1<x<m十1}，且B二A,求实数m的取值范围. (2)0 {⑦，{0}，{1}，{0,1}，在横线上不可 解分两种情况讨论： 以填的符号是( (1)当B=⑦时，m十12m一1，解得m≥2. A.∈ B. C D.= -32m-1, 答案D (2)当B≠0时，有{m十1≤4， ①反思感悟 2m-1m+1. 1.判断集合间关系的方法 解得一1≤m<2. (1)用定义判断.判断一个集合A中的元素是否 综上得，实数m的取值范围为m≥一1 全部属于另一个集合B,若是，则A二B,否则A生B. 反思感悟 (2)数形结合判断.利用数轴或维恩图判断. 1.解决此类问题通常先化简所给集合，再用数轴 2.写有限集的子集时，要注意两个特殊的子 表示所给集合，然后列出不等式（组），求出参数的取值 集—和自身，并按照元素的个数分类写出，避免重 范围 复或遗漏 2.列不等式（组）时，要根据具体的题目条件确定 3.若集合A有n个元素，则A有2"个子集，有 不等号中是否含有“等号”， 2-1个真子集. 3.对集合B分类讨论是解决此类题目的关键，注 意不要忽视对B=0的讨论. 【变式训练1】写出满足条件必军M{0,1,2}的所有 集合M. 【变式训练3】已知集合P={x|x2=1},集合Q= {xax=l}.若Q二P,则实数a的取值集合是 解满足条件的M有0}，1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}. 解析由题意，得P={-1,1}. 探究二集合相等及应用 因为Q二P,若Q=☑，则a=0,此时满足Q二P: 【例2】若集合1.e,合}=0，aa+6,则am+ 若Q≠g则0=女=日} b2019= 由题意知，上=1或上=一1，解得a=士1 分析集合相等→求出a,b→求值 综上可知，a的取值是0，士1 解折：h.a经}-0a2。十6 答案{-1,0,1} 又a≠0，点=0,6=0 易错辨析 因忽视空集致错 a2=1,a=士1. 【典例】已知集合P={x|x2+x-6=0},Q= 又a≠1，a=-1, ∴a2620+b2019=(-1)202w+02o19=1. {xmx-1=0.若Q二P,求实数m的值. 答案1 错解由P={x|x2+x-6=0},得P={-3,2}. ①反思感悟 品-32解得m=或m- 1.若两个集合相等，则两集合中的元素完全相同. 以上解答过程中都有哪些错误？出错的原因是什么？ 2.解含有字母的集合问题时，要注意检验集合中 你如何改正？你如何防范？ 元素的互异性。 提示错解中遗漏一解解含有参数的方程时，一定要 【变式训练2】设集合A={4,a},B={2,ab},若A= 对参数进行分类讨论.在错解的基础上，再讨论当Q=⑦时， B,则a十b= 进而求出m的值即可. 10
数 学 必修 第一册 配人教B版 课堂 ·重难突破 探究一 子集、真子集 【例1】写出集合{0,1}的所有子集和真子集. 分析 根据子集、真子集的定义求解. 解 子集有⌀,{0},{1},{0,1},其中真子集有⌀,{0},{1}. (1)若集合A={x|x⊆{0,1}},试用列举法表示集合A. 解 A={⌀,{0},{1},{0,1}}. (2)⌀ {⌀,{0},{1},{0,1}},在横线上不可 以填的符号是( ) A.∈ B.⊆ C.⫋ D.= 答案 D 1.判断集合间关系的方法 (1)用定义判断.判断一个集合A 中的元素是否 全部属于另一个集合B,若是,则A⊆B,否则A⊈B. (2)数形结合判断.利用数轴或维恩图判断. 2.写有 限 集 的 子 集 时,要 注 意 两 个 特 殊 的 子 集———⌀和自身,并按照元素的个数分类写出,避免重 复或遗漏. 3.若集合A 有n 个元素,则A 有2n 个子集,有 2n -1个真子集. 【变式训练1】写出满足条件⌀⫋M⫋{0,1,2}的所有 集合M. 解 满足条件的M 有{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2}. 探究二 集合相等及应用 【例2】若集合 1,a, b a ={0,a2,a+b},则a2020+ b2019= . 分析 集合相等 → 求出a,b→ 求值 解析 ∵ 1,a, b a ={0,a2,a+b}, 又a≠0,∴ b a =0,∴b=0. ∴a2=1,∴a=±1. 又a≠1,∴a=-1, ∴a2020+b2019=(-1)2020+02019=1. 答案 1 1.若两个集合相等,则两集合中的元素完全相同. 2.解含有字母的集合问题时,要注意检验集合中 元素的互异性. 【变式训练2】设集合A={4,a},B={2,ab},若A= B,则a+b= . 解析 因为A={4,a},B={2,ab},A=B, 所以 4=ab, a=2, 解得 a=2, b=2, 所以a+b=4. 答案 4 探究三 由集合间的关系求参数 【例3】已知集合A={x|-3≤x≤4},B={x|2m- 1<x<m+1},且B⊆A,求实数m 的取值范围. 解 分两种情况讨论: (1)当B=⌀时,m+1≤2m-1,解得m≥2. (2)当B≠⌀时,有 -3≤2m-1, m+1≤4, 2m-1<m+1, 解得-1≤m<2. 综上得,实数m 的取值范围为m≥-1. 1.解决此类问题通常先化简所给集合,再用数轴 表示所给集合,然后列出不等式(组),求出参数的取值 范围. 2.列不等式(组)时,要根据具体的题目条件确定 不等号中是否含有“等号”. 3.对集合B 分类讨论是解决此类题目的关键,注 意不要忽视对B=⌀的讨论. 【变式训练3】已知集合P={x|x2=1},集合Q= {x|ax=1}.若Q⊆P,则实数a的取值集合是 . 解析 由题意,得P={-1,1}. 因为Q⊆P,若Q=⌀,则a=0,此时满足Q⊆P; 若Q≠⌀,则Q= x x= 1 a . 由题意知, 1 a =1或 1 a =-1,解得a=±1. 综上可知,a的取值是0,±1. 答案 {-1,0,1} 易 错 辨 析 因忽视空集致错 【典例】已 知 集 合 P = {x|x2 +x-6=0},Q = {x|mx-1=0}.若Q⊆P,求实数m 的值. 错解 由P={x|x2+x-6=0},得P={-3,2}. 令 1 m =-3或 1 m =2,解得m=- 1 3 或m= 1 2 . 以上解答过程中都有哪些错误? 出错的原因是什么? 你如何改正? 你如何防范? 提示 错解中遗漏一解.解含有参数的方程时,一定要 对参数进行分类讨论.在错解的基础上,再讨论当Q=⌀时, 进而求出m 的值即可. 10