o Sin x 例1判别反常积分 dx的敛散性 解: SIn r 0 3/x4+13 由比较审敛法1可知原积分收敛 + oo 思考题:讨论反常积分 dx的敛散性 +1 提示:当x1时,利用 +13(x+1)3x+ 可知原积分发散 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
例1. 判别反常积分 解: 的敛散性 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 由比较审敛法 1 可知原积分收敛 . 思考题: 讨论反常积分 的敛散性 . 提示: 当 x≥1 时, 利用 可知原积分发散
定理4(极限审敛法1)若f(x)∈C[a,+∞),且,f(x)≥0 满足 lim xf(x)=l xX→)+0 则有1)当P>10≤1<+时gf(x)dx收敛; 2)当510<1≤+时f(x)dx发散 证:当p>1时,根据极限定义,对取定的E>0,当x充 分大时,必有xf(x)≤1+6,即 M 0≤f(x)≤ (M=1+) 可见∫。/(x)dx收敛 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
定理4. (极限审敛法1) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 x f x l p x = →+ lim ( ) 则有: 1) 当 2) 当 证: 当p 1时, 根据极限定义 , 对取定的 当 x 充 分大时, 必有 , 即 满足
当p≤1时,可取E>0,使l-E>0,(=+0时用任意正 数N代替l-E),必有 x2f(x)≥l-6 8 即 f(x)≥ N=l-) 可见∫。f()dx发散 注意:imx2f(x)=hinf(x) 此极限的大小刻画了 x-)+00 x→>+∞时f(x)趋于0的快慢程度 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
当 机动 目录 上页 下页 返回 结束 p 1时, 可取 0, 必有 即 使l − 0, (l = + 时用任意正 数N 代替l − ), 注意: 此极限的大小刻画了