例1 若b>0,则3nN.，使得二<b.n证 令a=1,由阿基米德性,ne N.，,使nb>1,即<b.n阿基米德（Archimedes,287B.C.一212B.C.，希腊）后页返回前页
前页 后页 返回 例1 + 1 b n b 0, N , . n 若 则 使得 1 b. n 证 令 由阿基米德性 a = 1, , n nb N , 1 + 使 ，即 阿基米德 ( Archimedes, 287B.C.－212B.C. , 希腊 )
五、实数的稠密性1.任意两个不相等的实数a与b之间，必有另一个a+b实数c.例如c盛22.任意两个不相等的实数a与b之间，既有有理数又有无理数证 若a<b，则由例1，存在neN.,使12(b-0后页返回前页
前页 后页 返回 五、实数的稠密性 2. 任意两个不相等的实数 a 与 b 之间，既有有理 数又有无理数. 1. 任意两个不相等的实数 a 与 b 之间, 必有另一个 . 2 . a b c c + 实数 例如 = 证 + 若 a b n ，则由例 1 N , ，存在 使 ( ). 2 1 1 b a n −
kk+1α的最大的正整数，即设k是满足>a.nnk+1 k+2k+1 k+2是于是,a<则<b,nnnnk+1元是a与b之间a与b之间的有理数,而+4nn的无理数例2 若a,bR,对V>0,a<b+ε,则a≤b.证 倘若a>b，设ε=a-b>0,则a=b+ε,与a<b+ε矛盾后页返回前页
前页 后页 返回 设 k 是满足 k n a 的最大的正整数， . 1 a n k 即 + 则 是 n k n k 2 , + 1 + , 1 2 , b n k n k a + + 于是 例2 若a,b R,对 0，a b + ，则 a b. 证 倘若a b，设 = a − b 0, 则 a = b + , 与 a b + 矛盾. 的无理数. 1 π 4 k a b n n 而 是 与 之间 + a b 与 之间的有理数, +
六、实数与数轴上的点一一对应实数集R与数轴上的点可建立一一对应关系1.这种对应关系，粗略地可这样描述：设P是数轴上的一点(不妨设在0的右边),若P在整数 n与 n+1之间，则 a.=n.把(n,n+1十等分,若点P在第i个区间,则a, =i类似可得到a,,n=2,3,...这时,令点 p对应于ao.a,a,...an....后页返回前页
前页 后页 返回 六、实数与数轴上的点一一对应 实数集 R与数轴上的点可建立一一对应关系. 1. 这种对应关系，粗略地可这样描述： 设 P P 是数轴上的一点( 0 ), 不妨设在 的右边 若 在 0 整数 与 之间，则 n n a n + = 1 . 1 把( , 1] , . n n P i a i + = 十等分 若点 在第 个区间，则 , 2, 3, . n 类似可得到 a n = 这时, 令点 p 对应于 0 1 2 . . n a a a a
反之，任何一实数也对应数轴上一点2.实数集与数轴上点的一一对应关系反映了实数的完备性．我们将在后面有关章节中作进一步讨论前页后页返回
前页 后页 返回 反之, 任何一实数也对应数轴上一点. 2.实数集与数轴上点的一一对应关系反映了实数的 完备性. 我们将在后面有关章节中作进一步讨论