S4 两个重要的极限sinxJimx-0xliml1-X>00返回前页后页
前页 后页 返回 §4 两个重要的极限 0 sin lim 1 x x → x 一、 = 二、 1 lim 1 e x x→ x + = 返回
sinxlim3Xx-→0sinx命题1lim1xx-→0元证因为 0<xsinx<x< tanx所以21(1)1<Lsin xcosx不等式中的三个表达式均是偶函数，故当元0<|xl<=时,(1)式仍成立.2返回前页后页
前页 后页 返回 . (1) cos 1 sin 1 x x x 不等式中的三个表达式均是偶函数, 故当 证 π sin tan 0 , 2 x x x x 因为 所以 命题1 1 . sin lim 0 = → x x x 0 sin lim 1 x x → x 一、 = π 0 | | 1 2 x 时,( )式仍成立
1x=1= 1, 所以 lim因为 lim 1 = limx-0 sinxx-0x-0cosxsin x=1lim即Lxx-0sinx例1求隆limX→元X-元解 令 t=x-元, sinx=sin(t+元)=-sint, 所以sinxsintlimlim-1t-→0tXX—元返回前页后页
前页 后页 返回 π 0 sin sin lim lim 1. x t π x t → → x t − = = − − 解 令 t x x t t = − = + = − π, sin sin π sin , ( ) 所以 1 . sin lim 0 = → x x 即 x 因为 1，所以 cos 1 lim 1 lim 0 0 = = x→ x→ x 1 , sin lim 0 = → x x x 例1 求 π sin lim . x π x → x −
arctanx例2 求limAxx-0t=arctanx, x =tant, 则解令arctanxlimlimlim cost = 1limx t-→0 sint t-→0x-→0t-0 tant1-cosx求lim例3x-01-2x22sinsin21-cosx解limlimlimtXx22x-→0x-0x-→0-2后页返回前页
前页 后页 返回 例2 . arctan lim 0 x x x→ 求 lim cos 1 . sin lim tan lim arctan lim 0 0 0 0 = = → → → → t t t t t x x x t t t ＝ 解 令 t = arctanx, x = tant, 则 . 1 cos lim 2 0 x x x − → 例3 求 解 2 2 0 2 2sin lim x x x→ = . 2 1 = 2 0 1 cos lim x x x − → 2 0 2 2 sin 2 1 lim = → x x x
二、(1+)-lim(1+))命题2=exx00l证我们只需证明：lim(1+)im.(1+)) -e.=e 和-x-→+00lXx-80设两个分段函数分别为：(c)-(1+#+),n≤x<n+1, n=1, 2,..;后页返回前页
前页 后页 返回 e . 1 lim 1 = + → x x x 命题2 e 1 lim 1 = + →+ x x x e . 1 lim 1 = + → − x x x 和 证 我们只需证明： ( ) , 1, 1, 2, ; 1 1 1 + = + = + n x n n n f x n 设两个分段函数分别为: 1 lim 1 e x x→ x + = 二、