S5无穷大量与无穷小量由于 lim f(x)= A等同于 lim[f(x)-A]= 0, 因x→xox-→xo此函数极限的性质与无穷小量的性质在本质上是“数学分析”也称为“无穷小相同的·所以有人把分析”一、无穷小量二、无穷小量阶的比较三、无穷大量四、渐近线返回前页后页
前页 后页 返回 二、无穷小量阶的比较 §5 无穷大量与无穷小量 由于 等同于 因 0 lim[ ( ) ] 0, x x f x A → − = 0 lim ( ) x x f x A → = 分析”. 相同的. 所以有人把 “数学分析” 也称为 “无穷小 此函数极限的性质与无穷小量的性质在本质上是 四、渐近线 三、无穷大量 一、无穷小量 返回
一、无穷小量定义1设f在点x.的某邻域U（x）内有定义，若 lim f(α)=0，则称f为x→x,时的无穷小量x →xo若f在点x,的某个空心邻域内有界，则称f为x一x.时的有界量类似地可以分别定义f为x-→x,x→x,x→00,x→+00, x→-00时的无穷小量和有界量返回前页后页
前页 后页 返回 一、无穷小量 定义1 设 f 在点x0的某邻域U (x0 )内有定义， lim ( ) 0, 0 = → f x x x 若 . 则称 f 为 x → x0时的无穷小量 类似地可以分别定义 f 为 时的无穷小量和有界量. . x → x0 时的有界量 0 若 f x 在点 的某个空心邻域内有界， 则称 f 为 , , , → 0 → 0 → + − x x x x x x → +, x → −
例如：x-1为x→1时的无穷小量：V1-x2为x→1-时的无穷小量；sinx为x→8时的无穷小量；xsinx为x一→时的有界量，显然，无穷小量是有界量.而有界量不一定是无穷小量.对于无穷小量与有界量，有如下关系：后页返回前页
前页 后页 返回 显然，无穷小量是有界量.而有界量不一定是无穷 例如: x − 1为 x → 1 时的无穷小量； 对于无穷小量与有界量，有如下关系： 1 − x 2 为 x → 1 − 时的无穷小量 ； sin ; x x x 为 时的无穷小量 → sin . x x 为 时的有界量 → 小量
1.两个(类型相同的)无穷小量的和，差，积仍是无穷小量2.无穷小量与有界量的乘积仍为无穷小量性质1可由极限的四则运算性质直接得到下面对性质2加以证明，设 lim f(x)=0,I g(x)/≤ M, x eU(x,). 对于任意X→xo的ε>0,因为 lim f(x)=0,所以存在S>0,使得当x→xo8从而0</x-x,/<时, 1 f(x)/<M +1后页返回前页
前页 后页 返回 1. 两个(类型相同的)无穷小量的和，差，积仍是 2. 无穷小量与有界量的乘积仍为无穷小量. 性质1可由极限的四则运算性质直接得到. 的 0, 因为 lim ( ) 0, 所以 0 = → f x x x 存在 0, 使得当 无穷小量. 下面对性质２加以证明. 0 0 | | , | ( ) | , 1 x x f x M − + 时 从而 0 0 lim ( ) 0, | ( ) | , ( ). x x f x g x M x U x → 设 对于任意 =
1 f(x)g(x) k .这就证明了f(x)g(x)是x→x,时的无穷小量例如:x为 x→0 时的无穷小量，sin1为x→0 时的有界量，那么xsinl为x→0 时的无穷小量应当注意，下面运算的写法是错误的：= lim x . lim sin =lim xsin -=0x-→0x x→0 x-0x后页返回前页
前页 后页 返回 0 这就证明了 f x g x x x ( ) ( ) . 是 → 时的无穷小量 例如: x 为 x → 0 时的无穷小量，sin 1 x 为 x → 0 时 0 . 1 的有界量，那么 xsin x 为 x → 时的无穷小量 0. 1 lim lim sin 1 lim sin 0 0 0 = = → → → x x x x x x x 应当注意, 下面运算的写法是错误的： | ( ) ( ) | . f x g x