2连续函数的性质
2 连续函数的性质
一连续函数的局部性质定理4.2（局部有界性）若函数f在点x,连续，则在f某U(x)内有界定理4.3（局部保号性）若函数f在点x,连续且f(x)>0(或<0)，则对任何正数r<f(x)(或r<-f(x))，存在某U(x)，使得对一切xEU(x)有f(x)>r(或f(x)<-r)。若函数f和g在点X.连续定理4.4（四则运算）则f±g,f.g,f/g(这里g(x)+O)也都在点x,连续
一 连续函数的局部性质 0 0 ( ) f x U x 若函数 在点 连续， 则在f某 内有界。 定理 4.2 （局部有界性） 定理 4.3 （局部保号性） 0 0 0 0 0 0 ( ) 0( 0) ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) f x f x r f x r f x U x x U x f x r f x r − − 若函数 在点 连续， 且 或 ，则对任何正数 或 ，存在某 ，使得对 一切 有 或 。 定理 4.4 （四则运算） 0 0 0 若函数f和g在点x 连续， 则f g,f g,f/g(这里g(x ) 0)也都在点x 连续
以上三个定理的证明，都可从函数极限的有关定理直接推得定理4.5若函数f在点x,连续，g在点u.连续，uo气f(x),?无法显示该图片则复合函数g°f在点x.连续。证由于g在u连续，对任给的ε>0，存在§,>0,使得当u-uol<,时有g(u)-g(uo)|<.又由uo=f(x)及u=f(x)在点x,连续，故对上述S, >b，存在S>0，使得当x-x|<8时有u-o=f(x)-f(xo)< 联系（1） 得：对任给的>9,存在S>0,当x-x<时有g(f(x))-g(f(xo)<s这就证明了g°f在点x.连续
以上三个定理的证明，都可从函数极限的 有关定理直接推得。 定理 4.5 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1. 0 ( ) 0 0 ( ) ( ) . ( ) ( ) 0 0 ( ) ( ) 0, 0, f x g u u f x g f x g u u u g u g u u f x u f x x x x u u f x f x x x g = − − = = − − = − − 若函数 在点 连续， 在点 连续， ， 则复合函数 在点 连续。 由于 在 连续，对任给的 ，存在 ， 使得当 时有 又由 及 在点 连续，故对上述 ，存在 ，使得当 时有 联系（1）得：对任给的 存在 当 时有 0 ( ( )) ( ( )) . f x g f x − 证 0 这就证明了g f x 在点 连续
求 lim sin(1-x),例1x→解 sin(1-x2)可看作函数g(u)=sinu与f(x)=1-x2的复合。由（2）式得lim sin(1 -x°) = sin(lim(1 - x) = sin 0 = 0x-→>1例2求极限：sin xsin x(1) lim /2 1im→0xxsinxsin x解 2-1 =1;() lim2 -lim一x-0x→0xxsin xsin xV2-0 = /2(2) lim2-limx->00?00xx
例1 求 2 1 2 2 2 2 1 1 lim sin(1 ). sin(1 ) ( ) sin ( ) 1 lim sin(1 ) sin(lim(1 )) sin 0 0. x x x x x g u u f x x x x → → → − − = = − − = − = = 可看作函数 与 的复合。由（2）式得 解 例2 求极限： 0 0 0 sin sin (1)lim 2 ; (2)lim 2 . sin sin (1)lim 2 2 lim 2 1 1; sin sin (2)lim 2 2 lim 2 0 2. x x x x x x x x x x x x x x x x x x → → → → → → − − − = − = − = − = − = − = 解
闭区间上连续函数的基本性质设f为闭区间[a,bl上的连续函数，本段中我们讨论fab上的整体性质定义1设伪为定义在数集D上的函数，若存在xED，使得对一切x ED有f(xo)≥ f(x)(f(xo)≤ f(x)则称f在D上有最大（最小）值，并称f(x)为f在D上的最大（最小）值。定理4.6（最大、最小值定理）若函数在闭区间[a,b]上连续，则f在[a,b]上有最大值与最小值
二 闭区间上连续函数的基本性质 设f为闭区间[a,b]上的连续函数，本段中我们讨论 f在[a,b]上的整体性质. 定义 1 并称 为 在 上的最大（最小）值。 则称 在 上有最大（最小）值， 若存在 ，使得对一切 有 设 为定义在数集 上的函数， f x f D f D f x f x f x f x x D x D f D ( ) ( ) ( )( ( ) ( )), 0 0 0 0 定理 4.6 （最大、最小值定理） 若函数f在闭区 间[a,b]上连续，则f在[a,b]上有最大值与最小值