《数学分析考试大纲》I.考试性质《数学分析》课程考试是由经系办公室审查后具有考试资格的学生参加的结业考试，以此成绩确定该学生本课程结业、通过还是重修。因此，考试应具有较高的信度、效度、必要的区分度和适当的难度《数学分析》考试，要发挥《数学分析》作为基础课程的作用，既要重视考查学生知识掌握程度，又要注重考查学生继续学习的能力。Ⅱ.考试要求作为数学分析试题的命题范围是数学分析《教学大纲》的教学内容。《数学分析》是数学类各专业最重要的基础课，《数学分析》课程的考试，要求考生比较系统地理解数学分析的基本概念、基本理论，掌握数学分析的论证方法，具备较熟练的演算技能和初步的应用能力。ⅢI.考试内容第一章实数集与函数一、考试内容1、实数（1）实数及性质。（2）绝对值与不等式。2、数集、确界原理（1）区间与邻域。（2）有界集与无界集。（3）上确界与下确界，确界定理。3、函数概念（1）函数的定义。（2）函数的几种常用表示。（3）函数四则运算。（4）复合函数。（5）反函数。（6）初等函数，基本初等函数，非初等函数。4、具有某些特征的函数（1）有界函数，无界函数。（2）单调函数与反函数：单调函数，严格单调函数。（3）奇函数与偶函数。（4）周期函数。二、考试具体要求（1）了解实数域及性质。（2）掌握几种不等式及应用。（3）熟练掌握邻域、上确界、下确界的概念和确界原理。（4）牢固掌握函数复合、基本初等函数、初等函数及其某些特性（单调性、周期性、奇偶性、有界性等）。第二章数列极限一、考试内容1、极限概念（1）数列极限定义，数列的收敛与发散性。（2）无穷小数列。2、收剑数列的性质收剑数列的性质：唯一性、有界性、保号性、保不等式性、迫敛性（或称两边夹法则）和四则运算法则。子列、平凡子列和非平凡子列及其有关性质。3、数列极限存在的条件（1）单调有界定理。（2）柯西收敛准则
《数学分析考试大纲》 Ⅰ.考试性质 《数学分析》课程考试是由经系办公室审查后具有考试资格的学生参加的结 业考试，以此成绩确定该学生本课程结业、通过还是重修。因此，考试应具有较 高的信度、效度、必要的区分度和适当的难度。 《数学分析》考试，要发挥《数学分析》作为基础课程的作用，既要重视考查 学生知识掌握程度，又要注重考查学生继续学习的能力。 Ⅱ.考试要求 作为数学分析试题的命题范围是数学分析《教学大纲》的教学内容。 《数学分析》是数学类各专业最重要的基础课，《数学分析》课程的考试，要 求考生比较系统地理解数学分析的基本概念、基本理论，掌握数学分析的论证方 法，具备较熟练的演算技能和初步的应用能力。 Ⅲ.考试内容 第一章 实数集与函数 一、考试内容 1、实数 （1）实数及性质。（2）绝对值与不等式。 2、数集、确界原理 （1）区间与邻域。（2）有界集与无界集。（3）上确界与下确界，确界定理。 3、函数概念 （1）函数的定义。（2）函数的几种常用表示。（3）函数四则运算。（4）复合函 数。（5）反函数。（６）初等函数，基本初等函数，非初等函数。 4、具有某些特征的函数 （ 1）有界函数，无界函数。（2）单调函数与反函数：单调函数，严格单调函数。 （3）奇函数与偶函数。（4）周期函数。 二、考试具体要求 （ 1）了解实数域及性质。 （ 2）掌握几种不等式及应用。 （ 3）熟练掌握邻域、上确界、下确界的概念和确界原理。 （ 4）牢固掌握函数复合、基本初等函数、初等函数及其某些特性（单调性、周 期性、奇偶性、有界性等）。 第二章 数列极限 一、考试内容 1、极限概念 （ 1）数列极限定义，数列的收敛与发散性。（2）无穷小数列。 2、收剑数列的性质 收剑数列的性质：唯一性、有界性、保号性、保不等式性、迫敛性（或称两边夹 法则）和四则运算法则。子列、平凡子列和非平凡子列及其有关性质。 3、数列极限存在的条件 （ 1）单调有界定理。（2）柯西收敛准则
二、考试具体要求（1）熟练掌握数列极限的定义。（2）掌握收敛数列的若干性质。（3）掌握数列收敛的条件（单调有界原理、迫敛法则、柯西准则等）。第三章函数极限一、考试内容1、函数极限的概念（1）几种类型的函数极限。2、函数极限的性质（1）函数极限的性质：唯一性、局部有界性、局部保号性、保不等式性、道敛性（或称两边夹法则）和四则运算法则。3、函数极限存在的条件（1）归结原则（Heine定理）。（2）柯西准则。4、两个重要极限5、无穷小量与无穷大量、阶的比较。（1）无穷小量和无穷小量阶的比较。（2）无穷大量。（3）曲线的渐近线。二、考试具体要求（1）熟练掌握使用“e-8”语言叙述各类型函数极限。（2）掌握函数极限的若干性质。（3）掌握函数极限存在的条件。（归结原则，柯西准则，左、右极限、单调有界等）。（4）熟练应用两个特殊极限浴（5）牢固掌握无穷小（大）的定义、性质、阶的比较。第四章函数连续性一、考试内容1、连续性概念（1）函数连续性概念。（2）间断点及其分类：第一类间断点（可去间断点，跳跃间断点），第二类间断点。（3）区间上的连续函数。2、连续函数的性质（1）连续函数的的局部性质：局部有界性、局部保号性、复合函数的连续性和四则运算性质。（2）闭区间上连续函数的基本性质：有界性定理、最值定理、介值性定理、根的存在性定理和一致连续性定理。（3）反函数的连续性。3、初等函数的连续性（1）基本初等函数的连续性问题。（2）初等函数的连续性。二、考试具体要求（1）熟练掌握在Xo点连续的定义，等价定义。（2）掌握间断点及类型。（3）了解在区间上连续的定义。（4）掌握在一点连续性质及在区间上连续性质。（5）了解初等函数的连续性
二、考试具体要求 （ 1）熟练掌握数列极限的定义。 （ 2）掌握收敛数列的若干性质。 （ 3）掌握数列收敛的条件（单调有界原理、迫敛法则、柯西准则等）。 第三章 函数极限 一、考试内容 1、函数极限的概念 （1）几种类型的函数极限。 2、函数极限的性质 （1）函数极限的性质：唯一性、局部有界性、局部保号性、保不等式性、迫敛 性（或称两边夹法则）和四则运算法则。 3、函数极限存在的条件 （1）归结原则（Heine 定理）。（2）柯西准则。 4、两个重要极限 5、无穷小量与无穷大量、阶的比较。 （1）无穷小量和无穷小量阶的比较。（2）无穷大量。（ 3）曲线的渐近线。 二、考试具体要求 （1）熟练掌握使用“ε-δ”语言叙述各类型函数极限。 （2）掌握函数极限的若干性质。 （3）掌握函数极限存在的条件。（归结原则，柯西准则，左、右极限、单调有界 等）。 （4）熟练应用两个特殊极限 。 （5）牢固掌握无穷小（大）的定义、性质、阶的比较。 第四章 函数连续性 一、考试内容 1、连续性概念 （1）函数连续性概念。（2）间断点及其分类：第一类间断点（可去间断点，跳 跃间断点），第二类间断点。（3）区间上的连续函数。 2、连续函数的性质 （1）连续函数的的局部性质：局部有界性、局部保号性、复合函数的连续性和 四则运算性质。（2）闭区间上连续函数的基本性质：有界性定理、最值定理、介 值性定理、根的存在性定理和一致连续性定理。（3） 反函数的连续性。 3、初等函数的连续性 （1）基本初等函数的连续性问题。（2）初等函数的连续性。 二、考试具体要求 （1）熟练掌握在 X0点连续的定义,等价定义。 （2）掌握间断点及类型。 （3）了解在区间上连续的定义。 （4）掌握在一点连续性质及在区间上连续性质。 （5）了解初等函数的连续性
第五章导数与微分一、考试内容1、导数概念（1）问题的提出、导数的定义、单侧导数和有限增量公式。（2）导函数，导数的几何意义。（3）极值点、极值。费尔马定理，达布定理（或导函数的介值定理）。2、求导法则（1）四则运算，反函数、复合函数的求导，链式法则，对数求导法，参量方程求导法则。3、微分（1）微分的概念，可微与可导的关系，可微函数。（2）微分运算法则，一阶微分形式不变性。4、高阶导数与高阶微分（1）高阶导数概念，莱布尼兹公式。（2）高阶微分。（3）近似计算与误差估计。二、考试具体要求（1）熟练掌握导数的定义、几何意义、物理意义。（2）熟记求导法则、求导公式。（3）会求各类的导数（复合函数、参数方程表示函数、隐函数、幂指函数、高阶导数（莱布尼兹公式）等）。（4）掌握微分的概念，并会用微分进行近似计算。（5）深刻理解连续、可导、可微之关系。第六章微分中值定理及其应用一、考试内容1、拉格朗日定理和函数的单调性（1）罗尔中值定理和拉格朗日中值定理。（2）单调函数。2、柯西中值定理和不定式极限（1）柯西中值定理。（2）不定式极限。3、泰勒公式（1）带有皮亚诺型余项的泰勒公式和带有拉格朗日型余项的泰勒公式，马克劳林公式。（2）几个常用初等函数的泰勒展式。（3）泰勒定理在近似计算上的应用。4、函数的极值与最大（小）值（1）极值的判别法。（2）最大值与最小值。5、函数的凸性与拐点（1）凸函数与凹函数、拐点。（2)。詹森(Jensen)不等式等6、函数图象的的讨论。二、考试具体要求（1）牢固掌握微分中值定理及应用（包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理）。（2）会用洛比达法则求极限（掌握如何将其他类型的不定型转化为0/0型）。（3）掌握函数的单调性与函数导数的符号的关系，并用它证明函数的单调性、不等式、求单调区间和极值等。（4）会判定函数的凹凸性及拐点。（5）了解凸函数及性质
第五章 导数与微分 一、考试内容 1、导数概念 （ 1）问题的提出、导数的定义、单侧导数和有限增量公式。（2）导函数，导数 的几何意义。 （3）极值点、极值。费尔马定理，达布定理（或导函数的介值定理）。 2、求导法则 (1)四则运算，反函数、复合函数的求导，链式法则，对数求导法，参量方程求 导法则。 3、微分 （ 1）微分的概念，可微与可导的关系，可微函数。（2）微分运算法则，一阶微 分形式不变性。 4、高阶导数与高阶微分 （ 1）高阶导数概念，莱布尼兹公式。（2）高阶微分。（3）近似计算与误差估计。 二、考试具体要求 （ 1）熟练掌握导数的定义、几何意义、物理意义。 （ 2）熟记求导法则、求导公式。 （ 3）会求各类的导数（复合函数、参数方程表示函数、隐函数、幂指函数、高 阶导数（莱布尼兹公式）等）。 （ 4）掌握微分的概念，并会用微分进行近似计算。 （ 5）深刻理解连续、可导、可微之关系。 第六章 微分中值定理及其应用 一、 考试内容 1、拉格朗日定理和函数的单调性 （ 1）罗尔中值定理和拉格朗日中值定理。（2）单调函数。 2、柯西中值定理和不定式极限 （ 1）柯西中值定理。（2）不定式极限。 3、泰勒公式 （ 1）带有皮亚诺型余项的泰勒公式和带有拉格朗日型余项的泰勒公式,马克劳 林公式。（2）几个常用初等函数的泰勒展式。（3）泰勒定理在近似计算上的应用。 4、函数的极值与最大（小）值 （1）极值的判别法。（2）最大值与最小值。 5、函数的凸性与拐点 （ 1）凸函数与凹函数、拐点。（2）。詹森(Jensen)不等式等 6、函数图象的的讨论。 二、考试具体要求 （ 1）牢固掌握微分中值定理及应用（包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、 泰勒定理）。 （2）会用洛比达法则求极限（掌握如何将其他类型的不定型转化为 0/0 型）。 （ 3）掌握函数的单调性与函数导数的符号的关系，并用它证明函数的单调性、 不等式、求单调区间和极值等。 （ 4）会判定函数的凹凸性及拐点。 （ 5）了解凸函数及性质
（6）会求曲线各种类型的渐近线性。第七章实数的完备性一、考试内容实数完备性六个等价定理（1）闭区间套定理。（2）聚点与聚点定理。（3）有限覆盖与有限覆盖定理。（4）确界定理。（5）单调有界定理。（6）柯西收敛准则。二、考试具体要求（1）掌握下列基本概念：区间套、覆盖、有限覆盖、聚点、予列。（2）了解刻划实数完备性的七个定理的等阶性，并掌握各定理的条件与结论。（3）学会用七个定理证明其它问题。第八章不定积分一、考试内容1、不定积分概念与基本积分公式（1）原函数与不定积分。（2）不定积分公式。（3）不定积分的线性运算法则。2、换元积分法与分部积分法（1）第一换元法与第二换元法。（2）分部积分法。3、类可化为有理函数的积分（1）有理函数的积分。（2）几类可化为有理函数的积分。二、考试具体要求（1）理解不定积分的概念、性质与运算法则。（2）熟练掌握不定积分的基本公式。（3）熟练掌握分部积分法和换元积分法。（4）掌握有理函数积分和可化为有理函数积分类型的积分计算。第九章定积分一、考试内容1、定积分概念（1）问题的引入（曲边梯形面积与变力作功）。（2）定积分定义。（3）定积分的几何意义。2、牛顿一莱布尼茨公式3、可积条件（1）可积的必要条件。（2）可积的充要条件。（3）可积函数类。4、定积分性质（1）线性运算法则。（2）区间可加性。（3）不等式性质。（4）绝对可积性。（5)积分中值定理。5、微积分学基本定理6、定积分计算（1）换元积分法。(2)分部积分法。（3）泰勤公式的积分型余项。二、考试具体要求（1）理解定积分的概念和定积分的几何意义。（2）理解牛顿一莱布尼茨公式。（3）掌握可积条件及可积函数类
（ 6）会求曲线各种类型的渐近线性。 第七章 实数的完备性 一、考试内容 实数完备性六个等价定理 （ 1）闭区间套定理。（2）聚点与聚点定理。（3）有限覆盖与有限覆盖定理。（4） 确界定理。（5）单调有界定理。（６）柯西收敛准则。 二、考试具体要求 （ 1）掌握下列基本概念：区间套、覆盖、有限覆盖、聚点、予列。 （ 2）了解刻划实数完备性的七个定理的等阶性，并掌握各定理的条件与结论。 （ 3）学会用七个定理证明其它问题。 第八章 不定积分 一、考试内容 1、不定积分概念与基本积分公式 （ 1）原函数与不定积分。（2）不定积分公式。（3）不定积分的线性运算法则。 2、换元积分法与分部积分法 （ 1）第一换元法与第二换元法。（2）分部积分法。 3、几类可化为有理函数的积分 （ 1）有理函数的积分。（2）几类可化为有理函数的积分。 二、考试具体要求 （1） 理解不定积分的概念、性质与运算法则。 （2） 熟练掌握不定积分的基本公式。 （3） 熟练掌握分部积分法和换元积分法。 （4） 掌握有理函数积分和可化为有理函数积分类型的积分计算。 第九章 定积分 一、考试内容 1、 定积分概念 （1）问题的引入（曲边梯形面积与变力作功）。（2）定积分定义。 （3）定积分的几何意义。 2、牛顿—莱布尼茨公式 3、可积条件 （1）可积的必要条件 。（2）可积的充要条件。 （3）可积函数类。 4、定积分性质 （1）线性运算法则 。（2）区间可加性。（3）不等式性质。 （4）绝对可积性。 (5)积分中值定理。 5、微积分学基本定理 6、定积分计算 （1）换元积分法 。(2)分部积分法。 (3)泰勒公式的积分型余项。 二、考试具体要求 （1）理解定积分的概念和定积分的几何意义。 （2）理解牛顿－莱布尼茨公式。 （3）掌握可积条件及可积函数类
（4）熟练掌握定积分的性质：线性运算法则、区间可加性、不等式性质、绝对可积性和积分中值定理。（5）掌握定积分性质的应用，积分等式、不等式的证明。（6）掌握微积分学基本定理。（7）熟练掌握定积分的计算（换元积分法与分部积分法）。（8）了解上和、下和的性质及可积充要条件的证明。第十章定积分的应用一、考试内容1、平面图形的面积。2、由平行截面面积求体积。3、曲线的弧长与曲率。4、微元法、旋转体体积与侧面积。5、定积分在物理中的应用。（1）液体静压力。（2)引力。(3)功与平均功率等。二、考试具体要求（1）掌握“微元法”，并会用微元法解决实际问题。（2）熟练掌握利用定积分求面积、旋转体体积、弧长、旋转曲面面积、压力、引力和功等。第十一章反常积分一、考试内容1、无穷限反常积分（1）无穷限反常积分的概念。（2）柯西准则。（3）线性运算法则。（4）绝对收敛与条件收敛。（5）无穷限反常积分收敛性判别法：比较判别法，狄利克雷（Dirichlet）判别法，阿贝尔（Abel）判别法等。2、无界函数反常积分（1）无界函数反常积分概念。（2）无界函数反常积分收敛性判别法。二、考试具体要求（1）理解反常积分（无穷限非正常积分，无界函数非正常积分）的概念。（2）理解绝对收敛与条件收敛和概念。（3）理解掌握反常积分的性质。（4）掌握反常积分敛散性的比较判别法，柯西判别法、狄利克雷和阿贝尔判别法等。第十二章数项级数一、考试内容1、级数的收敛性(1)级数收敛与和的定义。(2)柯西准则。(3)收敛级数的基本性质。2、正顶级数(1)正项级数比较原则。(2)比式判别法与根式判别法。(3)积分判别法。3、一般项级数(1)交错级数。(2)绝对收敛级数及其性质。(3)狄利克雷（Dirichlet）判别法，阿贝尔（Abel）判别法
（4）熟练掌握定积分的性质：线性运算法则、区间可加性、不等式性质、绝 对可积性和积分中值定理。 （5）掌握定积分性质的应用，积分等式、不等式的证明。 （6）掌握微积分学基本定理。 （7）熟练掌握定积分的计算（换元积分法与分部积分法）。 （8）了解上和、下和的性质及可积充要条件的证明。 第十章 定积分的应用 一、考试内容 1、平面图形的面积。 2、由平行截面面积求体积。 3、曲线的弧长与曲率。 4、微元法、旋转体体积与侧面积。 5、定积分在物理中的应用。 （1）液体静压力。(2)引力。(3)功与平均功率等。 二、考试具体要求 （1）掌握“微元法”，并会用微元法解决实际问题。 （2）熟练掌握利用定积分求面积、旋转体体积、弧长、旋转曲面面积、压力、 引力和功等。 第十一章 反常积分 一、考试内容 1、无穷限反常积分 （1）无穷限反常积分的概念。（2）柯西准则。（3）线性运算法则。 （4）绝 对收敛与条件收敛。（5）无穷限反常积分收敛性判别法：比较判别法，狄利 克雷（Dirichlet）判别法，阿贝尔（Abel）判别法等。 2、无界函数反常积分 （1）无界函数反常积分概念。（2）无界函数反常积分收敛性判别法。 二、考试具体要求 （1）理解反常积分（无穷限非正常积分，无界函数非正常积分）的概念。 （2）理解绝对收敛与条件收敛和概念。 （3）理解掌握反常积分的性质。 （4）掌握反常积分敛散性的比较判别法，柯西判别法、狄利克雷和阿贝尔判 别法等。 第十二章 数项级数 一、考试内容 1、级数的收敛性 (1)级数收敛与和的定义。(2)柯西准则。(3)收敛级数的基本性质。 2、正顶级数 (1)正项级数比较原则。(2)比式判别法与根式判别法。(3)积分判别法。 3、一般项级数 (1)交错级数。(2)绝对收敛级数及其性质。 (3)狄利克雷（Dirichlet）判别法，阿贝尔（Abel）判别法