第四章函数的连续性81连续性的概念内容：1函数在点o的连续性2 间断点及其的分类3区间上的连续函数的性质重点：函数在点x。的连续性难点：连续、一致连续的证明要求：理解连续的定义，间断点的分类会用定义证明函数的连续性
第四章 函数的连续性 §1 连续性的概念 内容： 1 函数在点 的连续性 2 间断点及其的分类 3 区间上的连续函数的性质 重点：函数在点 的连续性 难点：连续、一致连续的证明 要求：理解连续的定义，间断点的分类， 会用定义证明函数的连续性。 0 x 0 x
81连续性概念问题的提出：厂（1）自然界中有许多现象如气温的变化，河水的流动，植物的生长等等，都是连续地变化着的.这种现象在函数关系上的反应,就是函数的连续性（2）直观上来说，连续函数的图象是一条连绵不断的曲线。（如图1）
§ 1 连续性概念 问题的提出： （1）自然界中有许多现象,如气温的变 化，河水的流动，植物的生长等等，都 是连续地变化着的.这种现象在函数关系 上的反应,就是函数的连续性. （2）直观上来说，连续函数的图象是一 条连绵不断的曲线。（如图1）
yty=f(x)fXoAxo0X图1一：函数在一点的连续性1. 定义的引入先回顾一下函数在xo点的极限 lim f(x)= A,定义中要求f(x)在xo的某个空心邻域内有定义，即f(x)在xo有没有定义、定义为多少均与极限有没有、极限为多少无关。这里f(x。）可以有三种情况：
O x y y = f (x) x0 图1 一. 函数在一点的连续性 1．定义的引入 先回顾一下函数在 0 x 点的极限 f x A， x x = → lim ( ) 0 定义中要求 f (x) 在 0 x 的某个空心邻域内有定义，即 f (x) 在 0 x 有没有定义、定义为多少 均与极限有没有、极限为多少无关。这里 ( ) 0 f x 可以有三种情况： A ( ) 0 f x
sin(x -x。)1（图2）(1) F(xo)无定义，比如上章讲过的特殊极限 limx-→xox- Xoxx± Xo(2) f(x)± A, 比如 f(x)=, lim f(x)=xo ± f(xo) (图3)[x+1 x= xoX-→X(3)f(x。)=A,(图1 f(x)yyy=f(x)y= f(x)A0OxXxoXo图3图2第3种情况与前两种情况不同，要求f(x)在x。有定义且极限等于f(xo)，我们称这种情况为f(x）在x。处连续
(1) ( ) 0 f x 无定义，比如上章讲过的特殊极限 1 sin( ) lim 0 0 0 = − − → x x x x x x （图2） (2) f (x0 ) A， 比如 ， + = = 0 0 1 ( ) x x x x x x f x lim ( ) ( ) 0 0 0 f x x f x x x = → （图3） (3) f (x0 ) = A， (图1） x0 y = f (x) O x y 图2 O x y x0 ( ) 0 f x y = f (x) 图3 A 第3种情况与前两种情况不同，要求 f (x) 在 0 x 有定义且极限等于 f (x0 )， 我们称这种情况为 f (x)在 0 x 处连续
f（x）在x。处连续的定义定义l：设函数f(x)在x。的某邻域 U(x)内有定义，若(1)lim f(x) = f(xo)>X则称函数f(x）在x点连续例如函数f(x)= 2x+1在点x =2连续，因为lim f(x) = lim (2x + 1) = 5 = f(2)x->21x+0xsin在x =0处连续。因为又如函数f(x)=x0x=0lim f(x)= lim x -sin -=0=f(O）（无穷小乘以有界量仍为无穷小）x-0x-→0x3.等价定义先引入增量的定义：记x=x-x,称为自变量 x（在点x）的增量
2. f (x) 在 x0 处连续的定义 定义1：设函数 f (x) 在 x0 的某邻域 ( ) 0 U x 内有定义，若 lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x = → （1） 则称函数 f (x) 在 x0 点连续。 lim ( ) lim (2 1) 5 (2) ( ) 2 1 2 2 2 f x x f f x x x x x = + = = = + = → → 例如函数 在点 连续，因为 无穷小乘以有界量仍为无穷小） 又如函数 在 处连续。因为 0 (0) ( 1 lim ( ) lim sin 0 0 0 0 1 sin ( ) 0 0 f x f x x x x x x x f x x x = = = = = = → → 3．等价定义 先引入增量的定义：记 x = x − x0 ,称为 自变量 x ( ) 0 在点x 的增量