*S3 上极限和下极限数列的上极限与下极限是非常有用的概念，通过它们可得出数列极限存在的另一个充要条件.在下册第十二、十四章讨论级数收敛性时，常会遇到所考虑的某些数列不存在极限的情形，那时需要用上极限或下极限来解决问题.此外，对于不少后继课程来说，上（下）极限也是不可缺少的工具。一、上（下）极限的基本概念二、上（下）极限的基本性质返回前页后页
前页 后页 返回 *§3 上极限和下极限 数列的上极限与下极限是非常有用的概念, 通过 一、上(下)极限的基本概念 程来说, 上(下)极限也是不可缺少的工具. 极限或下极限来解决问题. 此外, 对于不少后继课 考虑的某些数列不存在极限的情形, 那时需要用上 册第十二、十四章讨论级数收敛性时, 常会遇到所 它们可得出数列极限存在的另一个充要条件. 在下 二、上(下)极限的基本性质 返回
一、上(下)极限的基本概念定义1若数列（x，满足：在数x的任何一个邻域内均含有(x，中的无限多项，则称x是数列(xn)的一个聚点注点集的聚点与数列的聚点之间的区别在于前者要求“含有无限多个点”，后者要求“含有无限多个项”.现举例如下：常数列(a,=a)只有一个聚点：a前页后页返回
前页 后页 返回 一、上(下)极限的基本概念 注 点集的聚点与数列的聚点之间的区别在于: 定义1 若数列 { } n x 满足: 在数 x0 的任何一个邻域 内均含有 { } xn 中的无限多项, 则称 x0 是数列 { } n x 常数列 ( ) n a a 只有一个聚点: a . 的一个聚点. 限多个项”. 现举例如下: 前者要求 “含有无限多个点”, 后者要求 “含有无
{（-1)"）作为点集来说它仅有两个点，故没有聚点；但作为数列来说，它却有两个聚点：1和-1.数列 ( sin ) 有五个聚点: -1, -V2/2, 0, V2/2, 1.从数列聚点的定义不难看出，x.是数列x，的聚点的一个充要条件是：存在(x的一个子列(xnXn, → Xo, k → 0.定理7.4有界数列至少存在一个聚点，并且有最大聚点和最小聚点前页后页返回
前页 后页 返回 定理7.4 有界数列至少存在一个聚点, 并且有最大 但作为数列来说, 它却有两个聚点: 1 1. 和 − 有五个聚点: − − 1, 2 2, 0, 2 2, 1. π { sin } 4 n 数列 0 , . nk x x k → → 从数列聚点的定义不难看出, x0 是数列 { } xn 的聚 { ( 1) } n − 作为点集来说它仅有两个点, 故没有聚点; 点的一个充要条件是: 存在 的一个子列 { }, nk { } x n x 聚点和最小聚点
证 设{x,为有界数列，由致密性定理，存在一个收敛子列(xmJ,Xnk→Xo (k→00),于是x是(xn)的一个聚点。又设E=x|x是(x的聚点,由于E非空有界，故由确界原理，存在A= supE, A=inf E.下面证明A是Ix,的最大聚点，亦即AEE.首先，由上确界的性质,存在 a,EE,使a,→A.前页后页返回
前页 后页 返回 又设 E x x x = | { } , 是 的聚点 n 由于 E 非空有界, 故由确界原理, 存在 A E A E = = sup , inf . 下面证明 A 是 { xn } 的最大聚点, 亦即 A E. 证 设 { }n x 为有界数列, 由致密性定理, 存在一个 的一个聚点. 0 { }n 收敛子列 { }, ( ), x x x k n n k k → → 0 于是 x x 是 首先, 由上确界的性质, 存在 a E, n 使 a A. n →
因为a,是(x的聚点，所以对任意正数ε,在区间(a;-ε,a;+ε)内含有(x,)的无限多项.现依次令8, =1, 存在xm, 使/xm-a,<1;1存在 xm,(n,>n), 使 / xm, -a2 l<,82三21存在 xm(n>ne-1),使 /xm-a,k&kk后页返回前页
前页 后页 返回 1, 1 = 存在 , n1 x 使 | | 1; xn1 − a1 , 2 1 2 = 存在 2 2 1 ( ), n x n n 使 2 2 1 | | ; 2 n x a − ( , ) i i a a − + { }n 内含有 x 的无限多项. 现依次令 , 1 k k = 存在 1 ( ), n k k k x n n − 使 ; 1 | | k x a nk − k 因为 ai 是 { } xn 的聚点, 所以对任意正数 , 在区间 .