第四章函数的连续性81连续性的概念内容：1函数在点x的连续性2间断点及其的分类3区间上的连续函数的性质重点：函数在点x。的连续性难点：连续、一致连续的证明要求：理解连续的定义，间断点的分类会用定义证明函数的连续性
第四章 函数的连续性 §1 连续性的概念 内容： 1 函数在点 的连续性 2 间断点及其的分类 3 区间上的连续函数的性质 重点：函数在点 的连续性 难点：连续、一致连续的证明 要求：理解连续的定义，间断点的分类， 会用定义证明函数的连续性。 0 x 0 x
81连续性概念问题的提出：【（1）自然界中有许多现象，如气温的变化，河水的流动，植物的生长等等，都是连续地变化着的这种现象在函数关系上的反应，就是函数的连续性【（2）直观上来说，连续函数的图象是一条连绵不断的曲线。（如图1）
§ 1 连续性概念 问题的提出： （1）自然界中有许多现象,如气温的变 化，河水的流动，植物的生长等等，都 是连续地变化着的.这种现象在函数关系 上的反应,就是函数的连续性. （2）直观上来说，连续函数的图象是一 条连绵不断的曲线。（如图1）
yy=f(g)fXAxo0X图1一。函数在一点的连续性1.定义的引入先回顾一下函数在 xo点的极限 lim f(x)= A,定义中要求 f(x)在x。的某个空心邻域内有定义，即f(x)在x有没有定义、定义为多少均与极限有没有、极限为多少无关。这里f（x。）可以有三种情况：
O x y y f(x) 0 x 图1 一. 函数在一点的连续性 1．定义的引入 先回顾一下函数在 0 x 点的极限 f x A， x x lim ( ) 0 定义中要求 f ( x ) 在 0 x 的某个空心邻域内有定义，即 f (x) 在 0 x 有没有定义、定义为多少 均与极限有没有、极限为多少无关。这里 ( ) 0 f x 可以有三种情况： A ( ) 0 f x
sin(x -x)1（图2）(1)(x）无定义，比如上章讲过的特殊极限一limX-→>Xox - Xoxx + Xo(2) f(x。) ± A， 比如 f(x)=, lim f(x)= xo ± f(x) (图3)x+1=XoX-→X(3) f(x。)= A,(图1)f(x)yyty=f(x)y=f(x)A0OXXxox o图3图2第3种情况与前两种情况不同，要求f(x)在x。有定义且极限等于f(x），我们称这种情况为f（x）在x。处连续
(1) ( ) 0 f x 无定义，比如上章讲过的特殊极限 1 sin( ) lim 0 0 0 x x x x x x （图2） (2) f (x0 ) A， 比如 ， 0 0 1 ( ) x x x x x x f x lim ( ) ( ) 0 0 0 f x x f x x x （图3） (3) f (x0 ) A， (图1） 0 x y f(x) O x y 图2 O x y 0 x ( ) 0 f x y f(x) 图3 A 第3种情况与前两种情况不同，要求 f ( x ) 在 0 x 有定义且极限等于f (x0 )， 我们称这种情况为 f ( x )在 0 x 处连续
2.f(x）在x。处连续的定义定义1：设函数f(x)在x。的某邻域 U(x。)内有定义，若(1)lim f(x)= f(x)X-→xe则称函数f（x）在x。点连续例如函数 f(x)= 2x +1在点 x = 2连续，因为lim f(x) = lim(2x + 1) = 5 = f(2)x→21x+0xsin.在x = 0处连续。因为又如函数f(x)=x10x=0lim f(x)=limx·sin==0=f(O）（无穷小乘以有界量仍为无穷小）x0x-→0x3.等价定义先引入增量的定义：记 △x= x-xo,称为自变量 x（在点x）的增量
2. f ( x ) 在 0 x 处连续的定义 定义1：设函数 f ( x ) 在 0 x 的某邻域 ( ) 0 U x 内有定义，若 lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x （1） 则称函数 f ( x ) 在 0 x 点连续。 lim ( ) lim (2 1) 5 (2) ( ) 2 1 2 2 2 f x x f f x x x x x 例如函数 在点 连续，因为 无穷小乘以有界量仍为无穷小） 又如函数 在 处连续。因为 0 (0) ( 1 lim ( ) lim sin 0 0 0 0 1 sin ( ) 0 0 f x f x x x x x x x f x x x 3．等价定义 先引入增量的定义：记 x x x0 ,称为自变量 x ( ) 0 在点x 的增量