S1关于实数集完备性的基本定理一、区间套定理二、聚点定理与有限覆盖定理返回前页后页
前页 后页 返回 一、区间套定理 二、聚点定理与有限覆盖定理 §1 关于实数集完备性的基本定理
一、区间套定理定义1设闭区间列([a,,b,J}满足如下条件：1. [a,, b,]-[ant, bu+il , n =1, 2, ...,2. lim(b, -a,) =0 ,n-→8则称{a,b,为闭区间套,简称区间套返回前页后页
前页 后页 返回 定义1 n n 设闭区间列 满足如下条件 {[ , ]} : a b 1 1 1. [ , ] [ , ] , 1, 2, , n n n n a b a b n = + + 2. lim( ) 0 , n n n b a → − = {[ , ]} , . n n 则称 a b 为闭区间套 简称区间套 一、区间套定理
定义1中的条件1知：a,≤a,≤...≤a.≤...≤b,≤..≤b,≤b.前页后页返回
前页 后页 返回 定义1 中的条件1 知： 1 2 2 1 . n n a a a b b b
定理7.1(区间套定理)若({[a,,b,I是一个区间套则存在唯一的实数，使E e[a,, b,l, n=1, 2, ...8(5) =[an, b, 1.或者n=1[E 15...b..b....b,b.aa, ...anan+..前页后页返回
前页 后页 返回 n n+ a a a a 1 2 1 n n + b b b b 1 2 1 定理7.1(区间套定理) {[ , ]} , n n 若 a b 是一个区间套 则存在唯一的实数 , 使 [ , ], 1, 2, , n n = a b n 或者 { } [ , ]. 1 = = n an bn x
证 由定义1的条件1可知,数列;a,递增,有上界bi.所以由单调有界定理,可知(a的极限存在设5=liman,→00从而由定义1的条件2可得limb, = lim(b, -a,)+ lima, = n0返回前页后页
前页 后页 返回 证 由定义1 的条件1 可知, 数列{an }递增, 有上界 b1.所以由单调有界定理, 可知 {an } 的极限存在. 从而由定义1 的条件2 可得 lim = lim( − ) + lim = . → → → n n n n n n n b b a a lim , n n a → 设 =