第二节L空间简介(续) 我们已经知道((x)是处处不收敛到的函数 现设 p,≥则在4)有 若(x)=(x),则p(,0)=gnPc p(n0)=∫ n I dx 由于n→>∞时,显然有k,→>∞,所以(20)→0 即ON>0(n->∞)
第二节 L p -空间简介 (续) 我们已经知道 是处处不收敛到0的函数， 现设 ，则在 中，有 若 , 则 由于 时，显然有 ，所以 即 。 { (x)} n p 1 L (E) p p p n E n dx 1 ( ,0) [ | | ] = ( ) ( ) ( ) x f x n n k n = i p p n E n dx 1 ( ,0) [ | | ] = n → kn → ( ,0) → 0 n 0( ) || || ⎯ ⎯→ → n p n
第二节L空间简介(续) 从例1、例2立知,处处收敛不蕴含p 方平均收敛,p-方平均收敛也不蕴含处处 收敛。但下面的定理指出,P-方平均收敛 蕴含依测度收敛。 定理3设,f∈L(E),k=1,2 且p(f2)→>0,则f→f。 证明:对任意E>Q记 Ek(E)=E{x‖f(x)-f(x)≥8} 则
第二节 L p -空间简介 (续) 从例1、例2立知，处处收敛不蕴含 方平均收敛， 方平均收敛也不蕴含处处 收敛。但下面的定理指出， 方平均收敛 蕴含依测度收敛。 定理3 设 。 且 ，则 。 p − p − p − f k , f L p (E), k =1,2, ( f k , f ) → 0 f f k 证明：对任意 。记 ， 则 0 E () = E{x || f (x) − f (x) } k k
第二节LP空间简介(续) p(r,f)=[Va-fIedx]p I eEx]P=&[m(Ek(E]P I lIfk-fpdx]p Ek(a) 由于,P(fk,)→少0所以对任何固定的E有 m(E(8)sn[p(,)→0(k→),即f→f 证毕
第二节 L p -空间简介 (续) 由于， 所以对任何固定的 有 ，即 证毕。 p p k E k f f f f dx 1 ( , ) = [ | − | ] p p k E f f dx k 1 ( ) [ | − ] p k p p E dx m E k 1 1 ( ) [ ] [ ( ( ))] = ( f , f ) → 0 k [ ( , )] 0 ( ) 1 m(E ( )) f f → k → p k p k f f k
第二节L空间简介(续) 推论若fk,f,∈L(E)且,则f=g即(E)中 序列的极限是唯一的。 证明:由定理3及p(k2g)→>0,D(3)>0 知fk→f,f→8,再由第三章§2定理6知 f=ga.e[E,故作为L(E)中元,有 f=g 证毕 P(,g)→>0p(f,)→>0
第二节 L p -空间简介 (续) 推论 若 ， 且 ，则 。即 中 序列的极限是唯一的。 证明：由定理3及 ， 知 ， ，再由第三章§2定理6知 ，故作为 中元，有 。 证毕。 f , f , g L (E) p k ( f , f ) →0, 0 k ( f k , g) → f = g L (E) p ( f k , g) → 0 ( f k , f ) → 0 f f k f k g f = g a. e [E] L (E) p f = g
第二节L空间简介(续) 定理4设/,f∈(E)如果p(2/)→>0则 l彡k|-刈f‖ 证明:注意到 ‖∫Sf-夭k‖+‖‖ p |f-f‖l+‖f 及 ‖f-fk‖l=p(/k2)→>0
第二节 L p -空间简介 (续) 定理4 设 ，如果 ，则 证明：注意到 ， 及 f , f L (E) p k ( f , f ) → 0 k k p p || f || →|| f || p k p k p || f || || f − f || + || f || k p k p p || f || || f − f || + || f || || f − f k || p = ( f k , f ) → 0