第四章线性方程组 则上述方程组(4-5)可写成向量方程 Ax=0 (4-6) 若x1,x2,.,xn为方程(4-5)的解，则 X2 x= 为方程(4-6)的解向量，也就是方程 (4-5)的解向量
第四章 线性方程组 则上述方程组（4-5）可写成向量方程 Ax = − 0 (4 6) 1 2 1 2 , , , (4 5) (4 6) (4 5) n n x x x x x x x − = − − 若 为方程 的解，则 为方程 的解向量，也就是方程 的解向量
第四章线性方程组 性质4.2.1两个解向量的和仍然是解向量，即 设5,5，是方程组(4-5)的解向量，则5+52也 是方程组(4-5)的解向量， 证明只需证明5+5满足方程组(4-6)即可 .A51=0,A52=0 ∴.A(51+52)=A51+A52=0 故x=5+52也是Ax=0的解
第四章 线性方程组 1 2 1 2 , (4 5 4.2. ) (4 5 1 ) − + − 两个解向量的和仍然是解向量，即 设 是方程组 的解向量， 性质 则 也 是方程组 的解向量. 证明 A( 1 + 2 ) = A 1 + A 2 = 0 A 1 = 0, A 2 = 0 故 x 也是Ax 0的解. = 1 + 2 = 只需证明 1 2 + 满足方程组(4 6) − 即可
第四章线性方程组 性质4.2.2一个解向量的倍数仍是解向量，即 设5是方程组(4-5)的解向量，是任意数， 则25也是方程组(4-5)的解向量. 证明 A(25)=元A(5)=0=0. ∴.也是方程组(4-5)的解向量 性质4.2.3设51,52，5是方程组(4-5)的解向量， 2,22,.2,是任意数，则25+元，52+.+1,5，仍 是方程组(4-5)的解向量
第四章 线性方程组 (4 5) (4 5 . .2 ) 4 2 − − 一个解向量的倍数仍是解向量，即 设 是方程组 的解向量， 是任意数， 则 性质 也是方程组 的解向量. 证明 A A ( ) = = = ( ) 0 0. − 也是方程组(4 5)的解向量 1 2 1 2 1 1 2 2 , , , (4 5) , , ( 4.2. 4 5) 3 s s s s − + ++ − 设 是方程组 的解向量， 是任意数，则 仍 是方程组 的 性质 解向量
第四章线性方程组 二、基础解系及其求法 如果方程组(4-5)有非零解，它一定有无穷多非零解 1、基础解系 设51,52，5是方程组(4-5)的一组解向量，若满足： 1)线性无关； 2)方程组的任意解向量都能由12，线性表示； 则称51,2，.，是方程组的基础解系
第四章 线性方程组 二、基础解系及其求法 如果方程组(4-5)有非零解，它一定有无穷多非零解. 1、基础解系 1)线性无关； 1 2 , , , - r 设 是方程组（4 5）的一组解向量，若满足：
第四章线性方程组 2、存在性及求法 定理：如果方程组(4-5)有非零解，它必有基础解系， 并且基础解系所含向量的个数为-R(A) 证明：设A经过初等行变换可化为： 。 0b+1 . 0 b I= 0 0 0 0 0 0
第四章 线性方程组 2、存在性及求法 定理：如果方程组(4-5)有非零解，它必有基础解系， 并且基础解系所含向量的个数为 n R A − ( ). 证明： 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 r n rr rn b b b b I + + =