《高等代数》课程教学课件（PPT讲稿）复习课 线性方程组

第四章线性方程组 充分性 若R(A)=R(A),则向量组a41,2,an与向量组4,2， ,&n,B有相同的秩，所以向量组C,2,a,的最大无关 组一定是g,a2,C,的最大无关组，因此B可由向量组 4,2,an线性表示4-3)知方程组(4-1)有解

第四章 线性方程组 充分性 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) , , , , , , , , , , , , , , , , . (4 3) (4 1) . n n n n n R A R A                   =      − − 若 ，则 向 量组 与 向 量组 有相 同 的 秩，所 以 向 量组 的 最 大 无 关 组一 定 是 , 的 最 大 无 关 组，因 此 可 由 向 量组 线 性表示 由 知 方程组 有解

第四章线性方程组 x1-2x2+33-x4=1 例1、判断方程组3x1-x2+5x3-3x4=2是否有解。 2X1+x2+23-2x4=3 解： 1 -23-11132-3r 1 -2 3 -11 A- 3 -1 5 -32 0 5 -4 0 -1 212 -2 35-2r 0 5 一4 0 Γ1 -2 3 -1 0 5 -4 00 0 0 2 可见R(A)=2,R(A)=3,所以方程组无解

第四章 线性方程组 1 2 3 1 1 3 1 5 3 2 2 1 2 2 3 A   − −   = − −       − 2 1 3 1 3 ~ 2 r r r r − − 1 2 3 1 1 0 5 4 0 1 0 5 4 0 1   − −   − −       − 3 2 ~ r r − 1 2 3 1 1 0 5 4 0 1 0 0 0 0 2   − −   − −       解： 可见R A R A ( ) 2, ( ) 3, . = = 所以方程组无解 . 2 2 2 3 3 5 3 2 2 3 1 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 例1、判断方程组 是否有解      + + − = − + − = − + − = x x x x x x x x x x x x

第四章线性方程组 x1-2x2+3x3-4x4=4 例2判断线性方程组 X2一X3+X4=-3 X1+3x2-3x4=1 解的情况 -7x2+3x3+X4=-3 解：对线性方程组的增广矩阵进行初等行变换 1-2 -4 4 1 -2 3 -4 01 -1 1 -3 0 1 -1 1 -3 A- 1 3 0 -3 1 0 5 -3 -3 0 -7 3 1 -3 0 -7 -3 1 -2 3 -4 4 1 -2 3 4 -3 0 -1 0 0 2 -4 12 0 0 0 0 8 24 0 0

第四章 线性方程组 解：对线性方程组的增广矩阵进行初等行变换               − − − − − − − = 0 7 3 1 3 1 3 0 3 1 0 1 1 1 3 1 2 3 4 4 A               − − − − − − − → 0 0 4 8 24 0 0 2 4 12 0 1 1 1 3 1 2 3 4 4               − − − − − − − − → 0 7 3 1 3 0 5 3 1 3 0 1 1 1 3 1 2 3 4 4               − − − − − → 0 0 0 0 0 0 0 1 2 6 0 1 1 1 3 1 2 3 4 4

第四章线性方程组 于是原方程组的同解方程组为 X1-2x2+3x3-4x4=4 x2-北3+X4=-3 X3-24=6 所以，原方程组有无穷解

第四章 线性方程组      − = − + = − − + − = 2 6 3 2 3 4 4 3 4 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x 于是原方程组的同解方程组为 所以，原方程组有无穷解

第四章线性方程组 2X1+X2+X3=-2 例3、方程组 x1-2x2+x3=2当2取何值时有解？ X1+X2-2x3=22 解：对方程组的增广矩阵实施初等行变换， -2 11-2 1 -2 23 A= 1 -2 1 -2 1 1 -2 22 -2 1 -2 2- 1 1 -2 22 + 1 -2 22 0 3 1-元2 0 -3 3 2-12 5+2r 03 3 -2+222 0 0 0 -2+1+λ2

第四章 线性方程组 2 2 1 1 2 1 2 1 1 1 2 A     − −   = −       − 1 3 ~ r r  2 1 1 2 1 2 1 2 1 1 2     −   −     − −   2 1 3 1 ~ 2 r r r r − + 解： 对方程组的增广矩阵A实施初等行变换， 2 2 2 1 1 2 0 3 3 0 3 3 2 2       −   − −     − − +   3 2 ~ r r + 2 2 2 1 1 2 0 3 3 0 0 0 2        −   − −     − + +   例3、方程组 当取何值时有解？        + − = − + = − + + = − 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 2 2 2 x x x x x x x x x