(3)利用向量组的秩判断: 设向量组c1,2,…,Cm的秩为r 当r<m时,C1,C2,…,Cm线性相关; 当r=m时, 1929 ,am线性无关 4.极大无关组的选取或证明 (1)初等变换法(最常用) 初等行变换 将列向量组写成矩阵 →行阶梯或行最简形矩阵 例如:求向量组 a1=(1,-1,2,4,a2=(0,3,1,2,x3=(3,0,7,14), a4=(1,-1,2,0),a5=(2,1,5,6的一个极大无关组, 并把其余向量用该极大无关组线性表示
6 (3) 利用向量组的秩判断： 设向量组 1 2 , , , m 的秩为 r 当 r m= 时， 1 2 , , , m 线性无关。 当 r m 时， 1 2 , , , m 线性相关； 4. 极大无关组的选取或证明 (1) 初等变换法（最常用） 将列向量组写成矩阵 ⎯⎯→ 初等行变换 行阶梯或行最简形矩阵 的一个极大无关组， 例如：求向量组 1 2 3 4 5 (1, 1,2,4), (0,3,1,2), (3,0,7,14), (1, 1,2,0), (2,1,5,6) = − = = = − = 并把其余向量用该极大无关组线性表示
解:(10312 0301 1|初等行变剡01101 1725 00011 421406 00000 19c2004 是一个极大无关组 并且3=301+a2 5 =1ax,+1a,+1a, 考虑:还有那些极大无关组?a1,C2,C5 1,034 190395
7 解： 1 2 4 , , 是一个极大无关组 并且 3 1 2 5 1 2 4 3 1 1 1 = + = + + 考虑：还有那些极大无关组？ 1 2 5 1 3 4 1 3 5 , , , , , , 初等行变换 1 0 3 1 2 1 0 3 0 1 1 3 0 1 1 0 1 1 0 1 2 1 7 2 5 0 0 0 1 1 4 2 14 0 6 0 0 0 0 0 A − − = ⎯⎯→
(2)极大无关组的证明 方法1:利用定义(a1,a2,…,,线性无关; 其它向量都可由a1,C2…,r1线性表示 (即向量组中任意r+1个向量都线性相关) 方法2:已知a1,2,…,C是向量组A的一个极大无关组, 又A中部分组cn,a12,…,cn,与ax1,Q2…,ax,等价, 则a1,a2,…,a,也是A的一个极大无关组。 例如:设a1,a2,O3是向量组A的极大无关组,且 B1=a1+a2+ax3,B2=a1+a2+2a3 B3=a1+2a2+303 证明B1,B2,/3也是A的极大无关组
8 (2) 极大无关组的证明 方法1：利用定义 1 2 , , , r 线性无关； 其它向量都可由 1 2 , , , r 线性表示。 （即向量组中任意r+1个向量都线性相关） 方法2：已知 1 2 , , , r 是向量组A的一个极大无关组， 又A中部分组 1 2 , , , r l l l 与 1 2 , , , r 等价， 则 1 2 , , , r l l l 也是A的一个极大无关组。 例如：设 1 2 3 , , 是向量组A的极大无关组，且 1 1 2 3 2 1 2 3 3 1 2 3 , 2 , 2 3 . = + + = + + = + + 证明 1 2 3 , , 也是A的极大无关组
证明:(往证a1,a2a3与月,2,月3等价) 1=1+a2+c3, B2=1+a2+2a3, 3=a1+2a2+3ax3 向量组,2,3可由向量组1,22,3线性表示 又 B1+B2-B3, B1-2B2+B3, B1+B2 向量组a1,C2,C3可由向量组1,B2,B3线性表示 ∵两个向量组等价 B1,B2,3也是极大无关组
9 证明： （往证 1 2 3 , , 与 1 2 3 , , 等价） 1 1 2 3 2 1 2 3 3 1 2 3 , 2 , 2 3 . = + + = + + = + + 向量组 1 2 3 , , 可由向量组 1 2 3 , , 线性表示。 1 1 2 3 2 1 2 3 3 1 2 , 2 , = + − = − + = − + 又 向量组 1 2 3 , , 可由向量组 1 2 3 , , 线性表示。 两个向量组等价 1 2 3 , , 也是极大无关组
矩阵的秩、向量组的秩的求法 初等变换后,看非零行的行数。 三.关于向量组的秩、矩阵的秩的证明 关于向量组的秩的两个重要定理: (1)若向量组ax1,O2…,C可以由向量组B1,B2,…,月 线性表示,则r(a1,a2…,a,)≤r(月1,2,…,B) (2)若向量组a1,a2,…,a,可以由向量组月,B2…,月 线性表示,并且a1,O2…,C线性无关,那么S≤t
10 二. 矩阵的秩、向量组的秩的求法 初等变换后，看非零行的行数。 三. 关于向量组的秩、矩阵的秩的证明 关于向量组的秩的两个重要定理： （1）若向量组 可以由向量组 1 2 , , , t 线性表示，则 1 2 , , , s 1 2 1 2 ( , , , ) ( , , , ) s t r r （2）若向量组 可以由向量组 1 2 , , , t 线性表示，并且 1 2 , , , s 1 2 , , , s 线性无关，那么 s t