《船舶流体力学》课程教学资源（讲稿）25 第8章 粘性不可压流体流动基本理论 - 8.5 几个简单粘性流动

8.5几个简单粘性流动完整求解NS方程，是非常困难的，只能通过数值离散方法进行求解。但对一些简单流动，可以根据因次分析和物理特征进行简化得到简单方程，然后进行解析求解。下面讨论几个简单粘性流动情况。为了简化问题，所考虑的流动都是定常流动问题。(1）平面二维Poiseuille-Couette流动上面板以速度U运动//////////y=hu(y)J=O下面板固定不动

8.5 几个简单粘性流动 完整求解NS方程，是非常困难的，只能通过数值离散方法 进行求解。但对一些简单流动，可以根据因次分析和物理特征 进行简化得到简单方程，然后进行解析求解。下面讨论几个简 单粘性流动情况。为了简化问题，所考虑的流动都是定常流动 问题。 (1) 平面二维 Poiseuille-Couette 流动 u(y) y 下面板固定不动 上面板以速度 U 运动 x y = 0 y = h

8.5几个简单粘性流动从直观物理来看，两个平板的流动是由三个动力带动：（1）上面板的运动；(2）沿x分向的压力梯度Op/x；(3）重力。由于上面平板是沿水平方向匀速运动，因此流场的速度分布应满足下面特征：u=u(y), v=O,a/ ox = 0因此NS方程的动量方程可以简化为：ananana"uau1 opx-component+gxotax/oybx?Oyp axa'u1 op(1)g.dypaxaxaxOx1 op22y-component:+8otOx/yDxp oy1 opg,=0(2)pay

8.5 几个简单粘性流动 从直观物理来看，两个平板的流动是由三个动力带动：(1) 上 面板的运动；(2) 沿 x 分向的压力梯度 ； p x /  (3) 重力。 由于上面平板是沿水平方向匀速运动，因此流场的速度分 布应满足下面特征： u uy v   ( ), 0,  / 0   x -component: u x t   u u x    u v y    2 2 1 p u x x         2 2 2 2 1 . (1) -component: x x u g y u p g y x v y t                       v u x    v v y    2 2 1 p v y x         2 2 v y    1 0 . (2) y y g p g  y               因此NS方程的动量方程可以简化为：

8.5几个简单粘性流动可以看到，惯性项都削去了。对于任何单方向流动(unidirectionalflows)问题，都可以这样处理。由上面简化的方程(2)，就可以直接得到压力分布p= p(x)+pg,y由上面简化的方程(1)，对v积分两次可以得到：dp+ Ciy+ C2ogdx2μ

可以看到，惯性项都削去了。对于任何单方向流动 (unidirectional flows)问题，都可以这样处理。 由上面简化的方程(2)，就可以直接得到压力分布： 8.5 几个简单粘性流动 ( ) y p  p x  g y 2 1 2 ( ) 2 x p y u y g Cy C x              由上面简化的方程(1)，对 y 积分两次可以得到：

8.5几个简单粘性流动对上面方程中的常数C,和C，可以通过物面边界条件(不可滑移条件）得到：(在下面平板)u(y=0)= 0(在上面平板)u(y=h)=U得到：hopCpgxhOx2u因此有速度分布：aphUyY_pgChax2 μhhCouetteFlowPoiseuilleFlow

对上面方程中的常数 C1 和 C2，可以通过物面边界条件(不 可滑移条件)得到： 8.5 几个简单粘性流动 ( 0) 0 ( ) ( ) ( ) u y uy h U     在下面平板 在上面平板 得到：  2 2 ( ) 2 Couette Flow Poiseuille Flow x p hy y y uy g U x hh h                             2 1 2 1 , 0 2 x p h CU g C h x                    因此有速度分布：

8.5几个简单粘性流动剪应力：Uhdu(y)Tu0gAh2oxdyconstantstresslinearstressdistributionduetoduetoCouetteflowPoiseuilleflowzero stress at the centerline单位宽度的流量：h3hUOrpgx212μax基于流量的平均流速（Thevolumeflowaveragedvelocity）：h?Uapu=Q/h:pg212μax

剪应力： 8.5 几个简单粘性流动  constant stress linear stress distribution due to due to Couette flow Poiseuille flow, zero stress at the centerline ( ) 2 xy x du y p h U g y dy x h                     单位宽度的流量： 3 0 12 2 h x p h hU Q udy g x                基于流量的平均流速 (The volume flow averaged velocity) ： 2 / 12 2 x p hU u Qh g x              