例1设 f(x),g(x),h(x) E R(x)(1) 证明: 若 f(x)= xg(x)+xh(x), 则f(x)=g(x) = h(x) = 0(2）在复数域上（1)是否成立？(1)若 f(x)≠0,则证：（x(g(x)+h2(x) = f2(x) ± 0从而 x(g(x)+h2(x))= f(x)0, 故
例1 设 f x g x h x R x ( ), ( ), ( ) ( ) (1) 证明: 若 2 2 2 f x xg x xh x ( ) ( ) ( ), 则 f x g x h x ( ) ( ) ( ) 0 = (2) 在复数域上(1)是否成立？ 证： (1)若 f x( ) 0, 则 2 2 2 x g x h x f x ( ( ) ( )) ( ) 0, 2 2 2 从而 x g x h x f x ( ( ) ( )) ( ) 0, 故
a(xg(x)+xh(x)) = a(x(g(x)+ h(x) 为奇数.但a(f2(x)为偶数。 则有 x(g(x)+h(x))≠ f2(x)这与已知矛盾。 故 f(x)=0, 从而 g(x)+h2(x)=0又f(x),g(x) 均为实系数多项式，从而必有g(x)=h(x)=0 ， 故 f(x)=g(x)= h(x)= 0.(2)在 C上不成立．如取f(x) = 0, g(x)=ix, h(x) = x
2 2 2 2 ( ( ) ( )) ( ( ( ) ( ))) xg x xh x x g x h x 为奇数. 故 f x( ) 0, 从而 2 2 g x h x ( ) ( ) 0. 2 但 ( ( )) f x 为偶数. 这与已知矛盾. 2 2 2 则有 x g x h x f x ( ( ) ( )) ( ), 又 f x g x ( ), ( ) 均为实系数多项式，从而必有 g x h x ( ) ( ) 0 ，故 f x g x h x ( ) ( ) ( ) 0. (2) 在 C上不成立．如取 f x g x ix h x x ( ) 0, ( ) , ( )
注：从这个例子可以看出，次数这一概念在证明中起着关键作用。一般在证明两个多项式不相等时，通过比较等式两端的次数，利用次数不等可引出矛盾，从而而问题得以证明。三、一元多项式环定义所有数域P中的一元多项式的全体称为数域P上的一元多项式环，记作P[x]
所有数域 P中的一元多项式的全体称为数域 P上的一元多项式环，记作 P x[ ] . 三、一元多项式环 定义 注：从这个例子可以看出，次数这一概念在证明中 起着关键作用。一般在证明两个多项式不相等时， 通过比较等式两端的次数，利用次数不等可引出 矛盾，从而而问题得以证明
矩阵（加，数乘，乘法，方幂，转置，伴随，逆）实数。比较多项式(加，数乘，乘法）整数集·整数的带余除法a,b,b±0,存在一对整数q,r满足a=q·b+r,0≤r<b而且满足这个条件的q,r是唯一的
（加，数乘，乘法，方幂，转置，伴随，逆） （加，数乘，乘 矩阵 多项式 实数 整 集 法） 数 比较 , , 0, , ,0 , , a b b q r a q b r r b q r 存在一对整数 满足 而且满足这个条件 整数的带余除法 的 是唯一的
$1.3整除的概念一、带余除法二V整除及有关性质
一、带余除法 二、整除及有关性质