陕西师范大学：《高等代数》课程教学课件（讲稿）第一章 多项式

一、带余除法定理Vf(x),g(x) E P[x], g(x) ± 0,一定存在 q(x),r(x) E P[xl, 使f(x) =q(x)g(x) + r(x)成立，其中a(r(x))<a(g(x)或 r(x)=0,并且这样的 g(x),r(x)是唯一决定的称 g(x)为g(x)除f(x)的商，r(x)为g(x)除f(x)的余式

   f x g x P x g x ( ), ( ) [ ], ( ) 0, 一定存在 q x r x P x ( ), ( ) [ ],  使 f x q x g x r x ( ) ( ) ( ) ( )   成立，其中    ( ( )) ( ( )) r x g x 或 r x( ) 0,  一、带余除法 并且这样的 g x r x ( ), ( ) 是唯一决定的． 称 q x( ) 为 g x ( ) 除 f x( ) 的商， r x( ) 为 g x( ) 除 f x( ) 的余式． 一定存在 q x r x P x ( ), ( ) [ ],  使    f x g x P x g x ( ), ( ) [ ], ( ) 0, f x q x g x r x ( ) ( ) ( ) ( )   成立，其中    ( ( )) ( ( )) r x g x 或 r x( ) 0,  定理 并且这样的 g x r x ( ), ( ) 是唯一决定的． q x r x P x ( ), ( ) [ ],  使

证：先证存在性(1) 若 f(x)= 0，则令 α(x)= r(x)= 0. 结论成立 .(2)若f(x) ± 0, 设 f(x),g(x)的次数分别为 n,m,当 n<m 时， 显然取 q(x)=0,r(x)=f(x)即有f(x)=q(x)g(x)+r(x), 结论成立下面讨论n≥m的情形，对n作数学归纳法次数为0时结论显然成立假设对次数小于n的f(x），结论已成立：

(1) 若 f x( ) 0,  则令 q x r x ( ) ( ) 0.   结论成立． (2)若 f x ( ) 0,  设 f x g x ( ), ( ) 的次数分别为 n m, , 证： 当 n m 时， 结论成立． 显然取 q x r x f x ( ) 0, ( ) ( )   即有 f x q x g x r x ( ) ( ) ( ) ( ),   下面讨论 n m 的情形， 假设对次数小于n的 f x( ) ，结论已成立． 先证存在性． 对 n 作数学归纳法． 次数为0时结论显然成立．

现在来看次数为n的情形设 f(x)的首项为 ax"，g(x)的首项为 bx",(n≥ m)因而，多项式则 b-lax"-"g(x）与 f(x)首项相同,fi(x)=f(x)-b-laxn-"g(x)的次数小于n或f为0.若 fi(x)=0， 令 q(x)=b-ax"-",r(x)=0即可 .若 a(fi(x)<n，由归纳假设,存在 qi(x),ri(x)使得 fi(x)=qi(x)g(x)+r(x)

设 f x( ) 的首项为 , n ax g x( ) , ( ) m 的首项为 bx n m 则   与 首项相同， 1 n m b ax g x   f x( ) 因而，多项式   1 ( ) ( ) - 1 = - g n-m f x f x b ax x 的次数小于n或 f1为0． 若   f x 1 = 0, 令 1 ( ) , ( ) 0 n m q x b ax r x     即可． 若    f x n 1   , 由归纳假设，存在 1 1 q x r x ( ), ( ) 使得         1 1 1 f x q x g x r x   现在来看次数为n的情形．

其中 a(ri(x)<a(g(x)或者 r(x)= 0. 于是f(x)=(b-'ax"-m +qi(x))g(x)+ri(x).即有 q(x)=b-lax"-m +qi(x), r(x)=ri(x)使f(x) = q(x)g(x)+r(x)成立。由归纳法原理, vf(x),g(x)± 0， q(x),r(x)的存在性得证

其中      1   r x < g x( ) 或者 1 r x( ) 0.  于是          1 1 1 . n m f x b ax q x g x r x      即有       1 1 1 ( ) , n m q x b ax q x r x r x      使 f x q x g x r x ( ) ( ) ( ) ( ),   成立． 的存在性得证． 由归纳法原理,   f x g x ( ), ( ) 0, q x r x ( ), ( )

再证唯一性，若同时有 f(x)=α(x)g(x)+r(x);其中 a(r(x)<(g(x)或r(x)=0.和 f(x)=q'(x)g(x)+r(x)其中 a(r(x)<a(g(x)或r(x)=0.则 q(x)g(x)+r(x)=q'(x)g(x)+r(x即 (q(x)-q(x)g(x)=r'(x)-r(x)

再证唯一性． 若同时有 f x q x g x r x          , 其中    r x g x r x     或  ＝0. 其中    r x g x r x       或  ＝0. 和 f x q x g x r x            , 则 q x g x r x q x g x r x                  即 q x q x g x r x r x  －      ＝  －  