答案与提示 2.2.(1H,2.2.(2) 2.2.(3)l.2.2.(4) 2.2.〔5)a=4,π1.2.2.(6) ,2、2.(7)2. 2.2.(8)0.2.2.(9)先用罗必塔法则再利用尸(x}的定义 2.2、(10)1 23利用泰勒公式求极限 利用带皮亚诺余项的泰勒公式,我们可以从一个复杂的变量中 分离出一个形式简单的“主要部分”,这对于简化极限计算是十分有 利的.以下几个基本公式应当熟记: 设x在x=0的附近则有 e=1+x+ E+o(x2); SInr 十…+(-1) (2n-1) +(x); cosT=l- 2! 2n)! +O(x2-1) (1+x)1+mx+ or(m 2! nn(n o(z) ln(1+x)=x-2…+(-1)"+o(x"). 2.3.1求im cos√x 解原式
x2)-1 =lm -- 8 it 2 o(x2) 2.3.2求im a sin 2x 解原式=im1 2x)3 x(2x)3 (sin2x)2 1-x2+x+0(x4) 8x4 23.3求lim,h(sn2x+e") -0ln(x2+e2)-2x In/1+sinr 解原式=lim Co In(1+e? U亠则当x→-0时,有4→0,v→0.因此 原式-li m- 况 ci 2.3.4求im?Cg 解螈式=lim r3 3
十o(x3) lim +o(x3) 23.5求 i Cos z→sinx 解由于e=1+x3+o(x3),1-cos√x-sinx (x-snx)+(x-si,因此 原式=lim x3+a(x3) iro b(r -sinx)+ o(2- sinx lim r+o(r) 12 2.3.6求 im[∨x3+3x-√ 解令t=1,则x→+∞时t→0, 原式=mx1+3 2 =lim[(1+32)t-(1-2t)t 阳[1+·(3)+o")-(1+t…(-2 +o(t))= li tt o(t) 237求m{n+1+是 解原式=加(n+号[-2+叫4是门] m[+…-+ 26一
23昱设∫(x)在原点的邻域内二次可导,且 limi sin3x⊥f(x) =0.求f(0),f(0),門(0),并计算极限 十 解F由题设知 sin 3x f(x) 0= lim x=/ax-,(3x)+ax) x亠0 f(0)+P(0)x+f(0)x+a(x)l 2 im[(3+f(0))x+f(0)x 尸(0)9 因此有f(0) 3,f(0)=0,m(0)=9 imn[3+f0)+f(0)x-2f(0)x2+o(x2) 9 are 2 3.9设∫(x)有连续的二阶导数,求证 m[(+b-(2-r()]=P(x) 证利用带拉格朗日型余项的泰物公式 f(x+h)=f(x)+f(s)h+f(e)h 其中介于x与x+h之间,则由(x)连续可得 原式 (f(x)h+()h2)-f 27
lir ☆1 2.3.10求in1:;“、11 解 原式-{im r(r)|de li oUter 10° 3.(1)求lr 23.(2求m 23(3,)m-:11.2.3(4)求lmr 2.3.(5)求lm x(311x 2.3.(6)求mrn! sina 23(7)求(1+- 2.3.(8)求in li(1+r)·ln(1--,x)-la(1 2.3(9)求nL÷xy 23.(1}设∫(r)在原点的城.阶可导,且 limiT f(x》1 状求(),P(),鬥"(0)以hn!1-! ?