答案与提示 2.3.(y,2.3.(2)1.2.3.(:) 2.3.(4)意到x-ctr;rexp{(e“"-1nr},原式-1 2.3,(5)、 3·2S.(6) .3,(7 12·2.3,(8) 2.3(s)先取对数,原式一e 2.3.(1+x+9)e+0(1)y +(x).由此得f()f(0)=(、(0)4而m!1;!(xy2x2 rexp{lnt3-a(1))}=xp{:(3+o(1)}-1+3x+o(xr),故f( 2.4无穷小量的比较 我们知道极限间题可以说就是利明无穷小进行分析.因此无 小量的比较是极限问题的个重要方面 2、4.I当x*0时,x-sin是x2的 (A)低阶无穷小. (1)高阶无穷 (C)棼价无穷小 D)同阶但非等价的无穷小 答 解应逃(B).用罗必塔法贝可算出 t li lir 1. cos.Iim sIn. r 22若函数yf()有尸(x)=3.明当Ar+0时该 函数在r-x处的傚分dy是 (A)与Δx等价的无穷小 B)与△x同阶的无穷小 (C)比△x低阶的无穷小.(D)比△e高阶的无穷小 答 解应选(B).由微分定义知
lim y Ar-P 4z= △2.4.3设∫(x)=sn(#)dt,g(x)=x+x,则当 x→0时,∫(x)是g(x)的 (A)等价无穿小 (B)低阶无穷小 (C)同阶但非等价的无穷小 (D)高阶无穷小 答( 解应选(C)用三次罗必塔法则可算出mg(2=3 24.4已知当x→0时,f(x)=x-(a+ bcos)sinx是x的 5阶无穷小,求a 解利用泰勒公式将f(x)写成 f(x)=(1-a-b)x+(+彤x-“ 16x5+0(x2), 由题设知应有1-a-b=0+一0于是0=b-吉 24.5当x→0时Nx+√x+√x是x的几阶无穷小? 解因为 +√x/+1,故 √x+√x+√x~xt(x→0) 所以√+√z+√F是z的阶无穷小 24.6当x→0时,√2x2-x-1·nx是x-1的几阶无穷 小 解√2x2-x-1·hx=√2x+1·√x-1hn[1+( 1)]故为x-1的音阶无穷小 2.4.7当x→1时,与无穷小(1-x)等价的是 A)号(1-x2) (B)1-x3
C)(1—x)2 (D)1 答( 解应选(A),因为 (1 lim =lim号(1+x)=1 2.8已知x→0时,arcg3x与cosx是等价无穷小,则a等于 A)1.(B)2.(C)3.(D)4. 答( 解应选(C),因为由 arctg33 lir arct 3 r 3.x 1 a COSC 可知 2.4.9在x=0的某个邻域内求一个二次多项式,使其与函数 y=secx的差为x2的高阶无穷小量 解设所求多项式为P(x)=ax2+bx+c,依题目的要求,有 hiax2+bx+c二sex=0,而分母趋于零,故必有im(ax2+bx+ c-sec)=0,由此得c=1.利用罗必塔法则,由 lim 92+ bx +1-sec lim 2ar+b- secxtgr=0 2x 知lm(2x+b-egx)=b=0接着可求出a=于是P(x) x2+1即为所求 习题2 24(1)当x0时,下列函数是x的几阶无穷小? 1)(-co,小+2-(1x+
l套,!为有退煎,求;和l !.(,)已l 3.上.i1)设扌;}:次订微、()一∷,!()-1.f"()·:2.证: 寸,f(x)·与x是等价无小 4.5)求…个次∵:式P(x),使门 2.1(6)当x·0时,(1+以)-1与<r…1是等价无守小,则常数 答案与提示 2.L.(1!(1)↓阶:(2)1所 2)a;1,!÷l 3,1.()Iini ∫( 1,r(x2. imn!(2;!)·b-}r”(;-1 2.4.(5}设P(r}=以x2-br-(,由题意,r·0时,eP(r}为 r的忘阶无穷小,于是推知e…Fx)也是比x高阶的乇穷小.显见e-P(c) 身是无穷小综合求得c=b:1,“ 于是P(x) 25利用极限存在准则求极限 常用的极限存在准则有夹挤定理和单调有界数列必有极限这两个定理 5.1求im 解由 32
以及lim --==I. lir 1即知原式=1. 2.5.2设A≥0,B≥0,求lmyA+Br 解不妨设A≤B,则有 B≤√A+≤y2B. 我们知道imy2=1.因此 lim v4“+B=B.类似地若B≤A 则有liny4→B=A.因此有 lim v A"+B a nax(A,B) 25.3设[x]表示不超过x的最大整数部分.求mx[] 解因为-1<[以]≤(x≠0),故当x>0时,1 ↓]≤1;当x<0时.1-x>x↓≥.由此知mn[] 25.4求lm 解<1.2…n<1.故原式=0 2.5.5设a> √a,求l Im a 厚重根号 解易见{xn}单调上升.用数学归纳法可证明xn≤ n=1,2、…)事实上,n=1时显然是对的设x,≤√a+1,则 √a+l≤√a+2√a+1 +1 根据单调有界数列必有极限的定理, lim x=l存在.在等式x