lin /'sc):./(0):lim sin.r:-- .crt (x).:f(0) e: Inl s1.-rcos. 故∫()在x=0的阶导数不存在 1.4.7设∫(x-y)-f(x)+f(y)x,y∈(-灬.+).求 证:若∫(x)在x-0连续.埘f(x)在(-,∵)上连续 证任取x∈(∷,∷).由∫(x)在x0连续可得 m[f )…f(x.)] lim[f(x)+∫(4x)…f(x)] lim f(Ar)=f(O) 又由∫()f(x+0)=f(x)…f(0)知f(0)0.因此得 Li [f( 这表明∫(x)在x,处连续.由x的任意性知结论成立 1.4.8设∫(x)在x=a处可导,求 lim f(a-+r):.(a--212 解 f )二fa.2x) li f(±x)-f(a)+f(=2)f(a) f(a)+f(a)=号f(t) 1.4.9设∫(x)=2x2+xx问∫(x)在xa0处最多有儿 阶导数 解 6℃ 0 ∫(x) f(x)= x2,x<0 2 <0. 由于mC(x)=C(Q)=6.imf(x)=!)=2,故P(o)
不存在所以∫(x)在x=0最多有一阶导数 1.4.10讨论函数∫(x)=lim 的间断点类型 解 ix|>1 f(x)={0 x f(-1+0)=-1,f(-1-0)=1;f(1+0)=-1,f(1-0)= 1,因此x=-1和x=1为∫(x)的跳跃间断点 14.11求f(x=,1x的连续区间间断点并判别其类 型 解f(x)的连续区间为(-∞,0),(0,1),(1,+∞) x=0是无穷间断点x=1是跳跃间断点 1412试确定ab的值使f(x)=x==1有无穷 间断点x=0,有可去间断点x=1. 解若x=0是f(x)的无穷间断点, e一b →1) 即 -a)(x1 r=b=0 所以,当a0,b≠1时,x=0是∫(x)的无穷间断点 若x=1是f(x)的可去间断点,则当a≠1,b=e时,下列极限 存在 此处利用了极限lm21=1.)因此当a≠1b=e时,z=1 是f(x)的可去间断点 综上所述,当a=0,b=e时∫(x)有无穷间断点x=0及可去
间断点x=1 习趣1.1 1.1设 1,|x|≤1 求「f(x)] 1.!x|≤1, f (r) 2-x2.1x≤1 求∫[g(x)与8[f(x)] 1.3设zs√y+∫(yx-1),已知y=1时z=x.求函数∫及z的 表达式, 1.4当x≠0时,f(x)满足 af()+bfl!) x 且f(0)=0,a≠||.证明f(x)为奇函数 1.5设∫(x)是(一∞,+∞)上的偶函数,且图形关于直线 2对称.证明∫(x)为周期函数 1.6f(x)=elnx(-∞<r<十∞)是 (A)有羿函数 (B)单调函数, C〕周期函数 (D)奇函数 答 1.7f(x)=|sinx|em(-∞<x<十∞}是 (A)有界函敦, (B)单调函效 (C)周期函效, D)偶函数 1.8已知∫(x)=ax2+bx+5,且f(x+1)-f(x)=8x+3,求a与 的值 1.9已知∫(x)minx,兀x)]=1-x,求叭x}及其定义域
则f《x)是 (A)奇函数 B)偶函数 C}函数与們函数之和(D)》周期函数 答 1.11求下列函数的反函数: 1.12设∫(x)在(0、+<)上定义,a>0.6>0.若(x)单调增棚,别 A)f(a+ h)>>t ≥∫(a)+∫(b) ()(÷b)≥a+b()以上均不成立 答( 1.13若 e’(sinx+cos ( 2x十 ≤0 是(-c,+c)上的连续数,如 4讨论函数 的间断点类型. 0 15设 f(r) 十b 试确定a、b的值,使f(r)处处连续、可导 1,16讨论函数 =0 12
作r-t的巡:,予性, 1,17设∫x)=:x2亠x'x,剽使∫“(0}轷在的最高阶数n为 b)I (D):, 答 1.18没f:xx r0.求证:P(x)在x=∪处连 l+3-+8 ≠0 l.13∮(x= 在x=0处追单斛 运续? 1.0没F(x)= ÷a 其中f(x)在 为左方可 倣分的.应当如何邀以和b的渲,傯F(x)在x处连续且可微? 答案与提示 .1f[∫():=1 1.?/g gfO 1.3∫(x)=x-3x-3.s√yr.1 用代(1中的x,得 a!1.)+b()-2.亠3r, 由(1}、(3)求出f(x)的表达式 1.5参考1.24题.1.6(D).1.7(1). 1.8 1,b 1.9 r)= arcsin(1 -. 2) ≤xs√2. 1.10(C).参看1.2.2题