解 sin b=1+cosx=2cos 1- sina 故f(c0)=2(1-c号 SiN 2 cos3. 1.3.3已知∫(x)=e",f[g(x)]=1-x且g(x)≥0 求g(x)及其定义域 解f[g(x)]=e)'=1-xg(x)=√n(1-x).由ln(1 x)≥0≈1一x≥1→x≤0 1.3.4设∫ x1·x≠1.求兀] f{f∫(f(x)]}. 1-x(x≠0x≠1) f2(x)=几f(x)]=-x 1 ∫(x)=/2(x)]=x f (r)=ffff(x))])= fTf(x)]=x 般地,fn(x)=x,fn1(x)=x1(m≥1) 1.3.5设 lx|<1 f(x)=〈0 x|:=1 g(r)=e' 求汇g(x)]和g[f(x)]. g(x)|<1 fg(x)]=〈0, g(x) Ig(r)I
即f6(x)]=10 0 1x1<1 gIf(r)] x|<1, 即g[f(x)]=l 1.3.6设f1(x) 求∫(x)=∫(…(f(x)) 次复合 解2(x)一f(f(x))= f s2 √1+/(x)多== f3(x2):f(f2(x)) fcra="2: 3. f2(x) 由此想到可用数学归纳法.设 f(x):=f(f…(f(x))一 合 则容易验明 ∫A-(x)==f(f(x)) 丰于 因此得1,(x)=(x)=√1+n(≥1 L3.7求y=3平的反函数 解由y=3≠2解得x=层土3,故反函数为x-2:3 1.3.8已知函数 x2-4x+5 的反函数为y=叭x)求是
解x≤2时,则y=x-1→x=y+1(y≤1) x>2时,由y=x2-4x+5→x=2+√y-1(y>1). x十1 ≤1 故 y=9(x) 2+√x-1 面q号}=2+√ 13.9设x),ψx)和f(x)为单调增加函数证明 若gx)≤f(x)≤ψx),则x)]≤ff(x)]≤x)] 证设x为三个函数公共定义域的任一点,则yx)≤∫(x) ≤x).由题设不等式及∫的单调增性知∫[g(x)≤f(x)] 究x)]≤f叭x)]、从而qyx)]≤ff(x)].同理可证 兀∫《x)]≤φψx。)].由x。的任意性即得绪论 王.3.10设∫x)是 ,+~)上的严格递增函数,且恒有 f(f(f(x))=f(x).求证:f(x)=x. 证用反证法.若结论不戌立、不妨设f(x)>x.则由f∫的严增 性得∫(f(x))>∫(x),于是又有f(f(f(x))>∫(f(x))>f(x) 这与假设矛盾 类似可证f(x)<x也不成立.故必有f(x)=x. 14元函微的连续性与可微性 △【.4.【设 a十bx2 ≤0 f(r)=sinks 在x=0处连续.问常数a与b应满足什么关系? 解由∫在x=0处连续,应有关系 f(0+0)=f(0-0)=0 即 sinx Him (a+ bx)
由此推知b=a. 1.4.2设 1 far) 1 +Isin x, I>0, 问∫(x)在x=0处是否连续,为什么? 解f(0+0)=im(1+et)=1,f(0-0)=im 1+asin}=1,f(0)=1,即f(0+0)=f(0-0)=f(0),所 以∫(x)在x=0处连续 143研究函数y=m5e的连续性 解易见 x<0 x=0 x>0 此函数处处连续 4.4设 tf(t)d F(x)= ≠0 其中∫(x)具有连续导数,且f(x)>0,∫(0)=0.设F(x)连续,求 常数C并讨论F(x)的连续性 解()c=mF(2)=!∫:-是 2)当x≠O时(x)-[()-2「小此 时F(x)是连续的.而
F(r). F(1) t/(d gf(0) 收F'(0) f(0). line: '(.-lim I …g:|xf(x)·2} tf(dt (0)-F(0) 可見F'(;)在x-们也连续 1.4.5研宄蹰数 costd 在x=0处的连续性与可生 解由in cost 6-:i costed可知f(c)在 x-0处续 lm+)=0)-号.lm)=19)-1故f(x)在 0处不可 1.4.6证明∫(x)=,rsn|1在x=0的二阶导数不存在 证 ∫(x)= <0 先求出 「sinx+ sin.r cDsx、 x<0 由于