习题8.4………………………………………(227) 第九章微积分证明题……… 面电 230 91零点问题 (230 习题9.1…………………………………卹………(23手 92中值定理…(236 习题9.2·… a(2↓3 93泰勒公式…………………………………“……(245) 习题93 ·(250 9,4不等式……………………………………(252) 习题9.4………………………·(257) 第十章无穷緞……………………………………(260) 10.1正项级数 参【260 习题10.1… (263) 10.2任意项级效…………… (265 习题10.2“……………… (270) 10,3幂圾数的收敛域与和函数………………………(272) 习蹰10.3……………………(278) 10.4求函效的幂级数展开式…………………(280J 习题104………………………“………(284 16.5傅立叶级效 (286) 巧题10.5 292) 第十一章常微公方程………………………………(295) 11.1一粉微分方程………………(295 题11.1…………………………………(298) 11.2全微分方程和可降阶的高阶方程………………………………(300 习11.2……………………………………(303) 11.3二阶线性做分方程……………………………(304) 习题11.3………………………………"(310) 11.4用积分给出的方程 311 习题11.4…………………………………(314) 11.5分方程的应用……………(3t5
∵蔥11.5………………………………………………………1321} 11.6其他类型的问题……………………………………(32 习题11.6…………………………………………………(328) 第十二章线性代微……………………………………(331) 12.1行列式的计算………………………………… 33】 习题12.1 12.2矩阵及其运算 (34) 题12,2…………………………(354 12.3向量组的线性相关性·矩阵的秩……………………(359) 习题12、3………… 血垂 〔365 12.4线性方程组………… 弓题12.4… 379) 12.5矩阵的特征值和特征向量……………… 习题12.5……………………………… 392) 12.6二次型………………… (398 习题12.6…… 40 12.7向量空间………………… 甲…(405) 卫败12.7………………… …(417) 模拟试蘧 (423 数学(试卷一)模拟试题〔附多考解答)……………(423 数学(试卷二)棋拟试题(附参考解答) s(430) 數学(试卷三)模拟试题(附多考解答) …(431 数学(试卷四)糗拟试逦(附參考解答)……………(437) 效学(试卷五)模拟试题(附参考解答)……………………………( 参事书目………………………………………………………………(451
第一章函数 i.I函数概念 1.1.1求函数y=√x-in|x-3的定义域 解x-1≥0→x≥1·|x-3|>0x≠3故函数的定义域 为[13)U〔3,+∞). 1.1.2函数y= arccos 的定义域是 解由|年1及x≠-1推得-3≤x≤ 1.L.3求函数y=y 的定义域 解c-叫)≥0=2x-≤誓一x≤2k+故得 2kx-≤x≤2k+(k=0、士1±2,…). 1.14下列各题中函数∫(x)和g(x)是否相同?为什么? (1)f(r)=lgx g(x)=21gxi (2)f(x)=x,g(x)=√x2; (3)f(x)=1.g(r)= sin2.r+coir 解(1)∫与8不相同,因为定义域不同 (2)∫与g不相同.因为对应规则不同. (3)∫与g相同,因为定义域与对应规则部相同 1.2函数的几种特性 1.2.1证明∫(x)=hn(x+√1+x)为奇函数. 证f(--x)=ln(-x+√1+(-x)2)
+ ∫(x) 1.2.2证明:定义在对称区间(一l)上的任意函数都可表示 为一个奇函数与一个偶函数的和,并且这种表示方法唯 f(x)-f(-x),f(x)+f( 唯一性请读者自己证明 1.2.3设x≠0时,∫(x)满足关系式 f(x)+f(1}=是,a为常数 (1) 证明∫(x)为奇函数 证用代替(1)中的x,得 f(r)==ax 2) 由(1)(2)解得∫(x)=(2-x1,则f(-x)=-f(x) 1.24设f(x)是(-+∞)上的奇函数.且图形关于直线 2对称,证明f(x)为周期函数 证依题设,有∫(-x)=-f(x),f(x)=∫(4-x)由此推 得∫(4-x)=-f(x-4),f(-x)=f(4+x)进一步推得f(4 +x)=f(x-4),令x-4=u即得f(u+8)=f(u),故f(x)是 以8为周期的周期函数 12.5设k>0为常数,f(x)≠0且f(x+8)=f(x 求证:f(x)是以2k为周期的周期函数 证f(x+2k)=f((x+k)十k) for+ 1.2.6设a,b为常数,且b>a函数y=f(x)定义于(-∞ ∞),它的图形既对称于直线x=4,又对称于直线x=b.则∫(x)
必是 (A)奇函数 (B)偶函数 (C)周期函数, (D)单调函数; 答( 解应选(C)函数的奇偶性和单调性都可排除.下面验明周期 性:对8>0,令x=a+B,则有 f(a+8)= f(a-a)=f(x)=f(2a 同理可得f(2b灬x)=∫(x).于是可以推出 f(x)亠f(2a-x)=f(2b-(2a-x)=f(x+2(b-a)) 1.27设∫(x)和g(x)在(a,b)内严格单调增加,证明x) max{∫(x)g(x)}在(a,b)内严格单调增加 设x1:x∈(a,b),x;<x2,则∫(x1)<f(x2),g(x1)< g(x2),从而max{f(x2)·g(x2)}>f(x2),max{f(x2),g(x2)}> g(x1)于是得gx)>gx1) 1.28设∫(x)为严格单调增加函数求证:若∫(x1)=f(x2) 则 证用反证法.若x1≠x2,不妨设x1<x2,则因∫严格单调增 加,故有f(x)<f(x2),这与假设∫(x1)=f(x2)矛盾 1.3复合函数与反 3.1设 ≤ 求∫(-x) >0 <0 解f(-x) 132已知f如否=1+0,求fcow景)