例4求幂级数x+2x2+3x+4x2+…的收敛域 解 354 n+1 X+ 是缺项幂级数 R=√3.收敛区间为(-3,3) n→0 an1|3 由于x=±√3时,通项今0.因此,该幂级数的收敛域为 例5求级数∑ 的收敛域 2021/2/24 6
2021/2/24 6 例 4 求幂级数 + 2 3 + 3 5 + 4 7 + 3 4 3 3 3 2 3 1 x x x x 的收敛域 . 解 + 2 3 + 3 5 + 4 7 + 3 4 3 3 3 2 3 1 x x x x = + + = 0 2 1 3 1 n n n x n x 是缺项幂级数 . n→ lim , 3 1 | | | | +1 = n n a a R = 3 . 收敛区间为( − 3 , 3 ) . 由于 x = 3 时, 通项→ 0 . 因此, 该幂级数的收敛域为 ( − 3 , 3 ) . 例 5 求级数 =0 2 ( −1) 1 n n n x 的收敛域
解令1=1,所论级数成为级数∑=∑)由几何级数 x 的敛散性结果,当且仅当-2<1<2时级数∑收敛.因此当且仅 当-2<-1<2,即1x-1>1时级数∑收敛所以所论级 x-1 数的收敛域为 ∪ 例6求幂级数∑yx的收敛半径 2021/2/24 7
2021/2/24 7 解 令 1 1 − = x t , 所论级数成为幂级数 = = = n 0 2 n 0 2 n n n t t .由几何级数 的敛散性结果, 当且仅当− 2 t 2时级数 = n 0 2 n t 收敛. 因此当且仅 当 2 1 1 2 − − x , 即 2 1 | x −1| 时级数 =0 2 ( −1) 1 n n n x 收敛. 所以所论级 数的收敛域为 , ) 2 3 ) ( 2 1 ( − , + . 例 6 求幂级数 2 3 n n x 的收敛半径