(18) E--且在积分守恒定律式(11.1.1)左边的功率输入项可以表示为(19)f,ExH.da =f,voxH.da其次，矢量恒等式V×(@H)=Φ×H+ΦH(20)可以用来改写式(19)的边为Φ ExH.da= dd.Vx (ΦH) ·da-d ovxH.da(21)右边的第一个积分为零，因为一个矢最的旋度恶无敬的，且在一个无散场中通过一个闭合面的通盈为零。安培定律能够用来从第一项中消去H的旋度-d ExH-da=-d d(J +D).da(22) 用这种方法，我们已确定了S的另一个表达式，仅仅在电准静态近似中有效。[((23)作为电位与总电流密度的乘积，由式(23)表示的功率流密度具有个类似于电路理论所用到的形式，这个总电流密度是由传导也流密度与位移电流密度之和构戒的。式(23)的功率通鼠密度在描述EQS系统中是方便的，这里电磁感应的影响是不大的。为了与EQS近似相一致，守恒定律必须在忽略磁能密度的情况下使用。例 11. 3. 2 在稳定的电流分布情况下的另一个 EQS 功率通量密度为了把另一个EQS功率流密度与坡印享通量密度比较，再次考虑例11.3.1中的同轴电阻器构型。因为场稳定的，EQS功率通量密度为S-dJ24)通过与被印享通量密度比较，这个尖量场在自由空间区域中为零。在圆柱导体中，电位与电流密度为[式(7.5.6)和(7.5.7))(25)Ob--J-E'-i由此得到功率通量密度简单地为S--orei(26)在阅盘形电阻器中有一个相似的径向的通量密度图11.3.2所示的S的另一个分布与图11.3.1所示的坡印亨通量密度是极不相同的。BV图 11.8,2对于与图 11.3.1 所示相阀系统的图11.3.3通过端口进人的任意EQS系统电准静态功率通量密度的分布359 :
与电路功率输人相关的坡印事功率密度假设用守恒定理描述的S面包围一个通过端进人的系统，如图11.3.3所示。在什么情况下,S·dα 对 S面的积分等于与这个系统相连接的各导线端钮的电压与电流乘积的和?在包围该系统表面S上的场的两种特征是必需的。其一，在表面S上，电磁感应对E的贡献一定被忽略。如果是这样的，那么不管表面 S内有什么(例如,EQS和 MQS两个系统)，在表面S上，电场可以认为是无旋的。这就得出：在坡印亭功率密度对闭合面S的积分过程中，我们也可以应用式(23)。-d o(1 +D).da ExH.da=-(27)at与绿出这个表达式所讨论的EQS系统相比较，现在它只在表面S上适用，而不是必须对被8面包圈的体积内部的表面上进行积分。其一,在S面,上,位移电流的贡献定要忽略掉。这就等效于篓求选取S面平行于位移通量密度。在那种情况下,进人此系统的总功率变成-f,ExH.da=-f,J.da(28)只有在面 8与某一导线相交处被积函数才有值。如果认为此导线为完纯导电的(但仍然在器为等，而E为无旋的区域中)，则导线在其横截面.上有均勾的电位。这样在式(28)中，@等于端钮的电压。在电流密度对导线截面的积分过程中,要注意da的方向为穿出表面，同时正的端钮电流方向为流入此表面。于是，(29)-f,ExH.da 20d.且式(28)所表示的输入功率等效于我们根据电路理论所期望得到的值。坡印亭通盘和电磁辐射一个有限范围的准静态系统不能通过一个在无限远处的表面提供或损耗功率。这样的功率提供或损耗需要通过辐射，且当电磁感应或位移电流被忽路时,那么电磁波也就要被忽路。为一证明这个命题,考虑一-个有限静电荷的 EQS 系统。它的电场强度在无限远处以 1 / *衰减,其中 为在系统中选定的原点到远距离点的距离。在较大距离时，电流好象等效成一个电流环电源。因此，磁场强度以磁偶极子的1/r关系典型衰减。由此可得出，坡印亭矢量至少以1/#"的速度衰减，以使 E×H 的通量对面积为 4元r”在无限远处的球面的积分贡献为零。由于这仅仅是在无限远处贡献的由电磁辐射所致的E×H部分,12.5 节所示的坡印享定理，将是研究天线的强有力工具。11.4 能量储存在守担定理式(11.2.7)中，我们已经认为 E:%和 HI.2两项与每单位体积提供给材1360:
料的极化和磁化的能量变化率·致，对于线性各向同性材纤，找们发现这些可以写成能员密瘦的效的导数。在这一节中，我们探索能员储存的更普邀的摘述。首先，从场的观点号虑非线性材料。然后，对于能够用电端口描述的这些系统，能孟储存可以用端钮变量表示。在11.6和11.7节中，我们将发现这一节的结果可直接用干求解电力和磁力。能量密度考虑-种E和 D=(e.E+P)共线的材料。D用E和D表示这些失量的量值，假设这种材料可以用E是D的单值函数的沟成定律摘述，象图11.4a所示这样的。在线性的构成定律情况下，特性图11.4.1表示能盘密度与曲线端点处的变盘相曲线是一条斜率等于介电常数。的直线关的单值的构成定律：（a)电能密度；(b）邀能密度考虑一种E和P兆线的材料（各向同性材料)。当然地，E和D=eE+P也共线。我们可以作出D的大小对E的图象，并得到此材料的一个完特性。现在，每单位体积传递给极化的功率为E.D。如果我们对色再附加士提供给场的每单位体积（自由空间部分）的能谨变化率E.2.E，我们就可得到每单位体积的功率Ee- P)- P-8 9(1)提供给每单位体积的功率现在可以写成D的一个函数W。(D）对时间的导数。实际上，我们把图11.4.1中曲线上的面积定义为W。，则(2)a这样，E(aD/at)是函数W。（D）的导数，这个函数是每单位体积储存的能量，因为用积分表示链单位体积提供的能量[" dteD-f'eeD W.(D)(3)是电位移通量D的最终值的函数，且我们履定时场质E和D均为零。这里，OD表示D的微分,通常用dD表示。我们使用8而不用d是为了避免用于体积分、面积分和线积分的微分和这里使用的微分间的溉淆，这里的微分瞻示在具有D的“维数”的“状态空间”内的识分。类似论证表明，如果B-Ho（H+M）和H是兆线的，且H是L的单值函数，则(4)共中Wa=Wm(B)-J,H8B(6)361
用式(1)和（4)代替式(11.2.7)的能量定理右边前四项，很显然，能量密度W=W。+Wm。电能密度和磁能密度的几何解释就是图11.4.1中表示构成定律的曲线上的面积。用端钮变量表示的能量储存在11.3节中阐明了如果在端钮周围满足某种条件时，那么输入到一个系统的功率可以表示为每个端口 vi 乘积之和,即(11. 3. 29) 式。 在一个无损耗系统中根据端纽变量描述的能量储存在确定电力和磁力时将发现是有用的。假定输人到一个系统的所有功率都是储存的能量对时间的变化率,那么一个系统的能量守恒的陈述变为2i-%(6)式中w-wde且积分是对系统的体积进行的。如果系统是电准静态的，电荷守恒要求端钮电流应该是与正端相连的电极上的电荷对时间的变化率。i--d(7)进而，w=w，是储存的电能。这样，可从式(6)得结论 d - do =-Zidg(8)一第一个表达式说明在一个电压为：的电极上有电荷的增虚dg：就使储存能量u，有一个增量的变化。于是，对电荷的积分可以给出总的能量210.da(9)要完成这个积分，每个端钮电压必须是相关电荷的已函数。-:(1-.) (10)然后积分可以沿状态空间4）中的任-路经进行，它起始于原点，终止于电极上所期望的电荷上(也就是所期望的端钮电压)。对于单个端口，能量能够用图11.4.2a所示的面积来表示。如果系统是磁准静态的，那么能够用端钒关系描述的无损耗的守恒定律仍取式(6)的形式。ENsai因 11.4. 2 当变量是在曲线的端点时,表示总能存能量的单值端初关系;(a)电能储存;(b)避能储存362°
然而，现在不是把电流表示成电极电价的导数，而是把电压表示成与各端口相交键的通量的导数(11)这样，式(6)导致-4da(12)为了完成这个积分，我们要求端钮电流是端磁通的函数[(13)对于单端口系统，wm描绘在图11.4.26中计算储存在某一个系统中的总能量的最常用的方法是把式(3)与(5)给出的能量密度对系统的体积进行积分。如果系统可以用端钮关系描述，且是无损耗系统，那么式(9)和(12)-一定导致相同的答案。 注恋(D,E)和(9,D)分别是 EQS 系统中的场的变量和路的变量,而(B,I)和(1,i) 在MQS系统也具有相应的作用。V.例11.4.1一个电的线性系统介电常数为。的介质片部分地充满在乎行平面完纯导电电极之间区域内，如图 11.4.3所示。忽略边缘场，我们用两种方法求得储存的总能量。首先，将能底密度对整个体积积分，然后利用端钮关系计算总能量。深度两电极间电场的准确解简单地为 E=i (o/a)。 注音这足介质片和上面自由空间区域的交界面上以及在也极表面f,上的边界条件。我们假设≤b,并由此忽路边缘场。在 D=eE的线性电介质中，能量密度可根据式(3)图11.4.8部分地为自由空间，部分地的计算而得充满介电常数为e的介质的电容器。W.-'EaD--D--eB*(14)E-在白由案间区域内，将ee，同样结果可适用。把这些能量密度对它们所适用的区域积分，等于它们乘以各白的体积。这样，总能量为w-fw.d-→()(c)+(%)(b-)cal(15)注意，如这些表达式取tu.=fjco(16)形式，共中Cagb+(-0)]: 363